Интерпретация монадической теории вещественных чисел в монадической теории линейного порядка.
Ниже приводится отрывок из книги Гуревич, Шелах - Интерпретация логики второго порядка в монадической теории порядка . Я пытаюсь понять, как монадическая теория действительной прямой интерпретируется в монадической теории порядка (они не включают никаких дополнительных объяснений или доказательств, а только говорят, что это можно сделать легко).
Вот несколько определений, которые могут быть полезны. Если$(\alpha,<)$ является линейным порядком, то по монадической теории $\alpha$'подразумевается теория первого порядка структуры $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ где $<$ это порядок $\alpha$даны на подмножествах одиночных элементов. «Монадическая теория порядка» - это пересечение всех этих теорий первого порядка, как мы допускаем.$\alpha$ варьироваться по всем линейным порядкам.
Возможно, существует какой-то рекурсивный набор аксиом $T_{\mathbb{R}}$ такой, что если мы возьмем объединение монадической теории порядка с $T_{\mathbb{R}}$ мы получаем полную теорию строения $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (Следует отметить, что как монадическая теория порядка, так и монадическая теория$\mathbb{R}$ неразрешимы).
Я не могу найти эту «легкую» интерпретацию, но чувствую, что могу упустить что-то очевидное.
Ответы
Я не вижу, как исправить свою исходную стратегию - в частности, хотя у меня нет контрпримера, я подозреваю, что «это полный по Дедекинду линейный порядок без конечных точек или изолированных точек, все подотряды которого имеют конфинальность и совпадение. $\le \omega$" не обязательно$\mathbb{R}$ с точностью до изоморфизма.
Тем не менее, мы все еще можем получить ожидаемое сокращение (хотя на первый взгляд это не дает интерпретации как таковой - все еще размышляя над этим). Скажите, что линейный порядок$A$ является $\mathbb{R}$ish, если он завершен по Дедекинду и не имеет конечных или изолированных точек. Ключевое наблюдение следующее:
(Лемма) Каждый$\mathbb{R}$В этом порядке есть подпорядок, изоморфный $\mathbb{R}$, и каждый $\mathbb{R}$это подотряд $\mathbb{R}$ изоморфен $\mathbb{R}$.
Дело в том, что $\mathbb{R}$находится внизу класса упорядочения, определяемого MSO, в смысле, определяемом MSO. Таким образом, мы можем выполнить следующий перевод:
(Определение) Для приговора MSO$\varphi$, позволять $\hat{\varphi}$ быть предложением MSO "Каждый $\mathbb{R}$Иш приказ имеет $\mathbb{R}$иш подотряд удовлетворяет $\varphi$. "
По лемме имеем $\hat{\varphi}$ является частью MSO-теории порядка тогда и только тогда, когда $\mathbb{R}\models\varphi$:
Если $\mathbb{R}\not\models\varphi$ тогда $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, поскольку все $\mathbb{R}$иш подотряда $\mathbb{R}$ изоморфны $\mathbb{R}$ по лемме и, следовательно, также не удовлетворяют $\varphi$.
Наоборот, если $\mathbb{R}\models\varphi$ затем каждый $\mathbb{R}$линейный порядок имеет $\mathbb{R}$иш подотряд удовлетворяет $\varphi$ - а именно, любой подпорядок, изоморфный $\mathbb{R}$ сам, существование которого гарантируется согласно лемме.
Карта $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ очевидно вычислим, и поэтому мы получаем сокращение $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ к монадической теории порядка по желанию.