Исчисление Спивака 5-15-vi $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2(x)+2x}{x+x^2}$
Оцените следующее с точки зрения $\alpha = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}:$
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2 (x)+2x}{x+x^2}$$
Я застрял на этом. Я пробовал использовать$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ с последующим $\cos^2(x)=1 - \sin^2(x)$ получить все с точки зрения $x$ и $\sin$. Затем я попробовал с точки зрения$x$ и $\cos$ (поскольку $\cos$стоит в знаменателе). Также пробовал дробные дроби. Помогите.
Ответы
Вы могли написать $$\frac{\tan^2 x + 2x}{x + x^2} = \frac{\tan^2 x + 2x}{x(x+1)} = \frac{\dfrac{\sin x}{x} \cdot\dfrac{\sin x}{\cos^2 x} + 2}{x+1}$$ и используйте законы о лимитах, чтобы получить лимит $$\frac{\alpha \cdot 0 + 2}{1}$$
Дано,
$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}$ ,
Теперь принимая $"x"$ общее от числителя и знаменателя,
мы получили,
$$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}=\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}$$
Как мы знаем, $Lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}=1$
Так,
$$Lim_{x\to0}\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}=\frac{0\cdot1 +2}{1+0}=2$$
поскольку $\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos x=1$, у нас есть $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}x=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}x=\alpha$, т.е. $\tan x=\alpha x+o(x)$.
Так $\tan^2 x=\alpha^2 x^2+o(x^2)$, и $\tan^2 x+2x=2x+o(x)=x(2+o(1))$.
потом $\frac{ \tan^2 x+2x}{x(1+x)}=\frac{2+o(1)}{1+x}$ и предел как $x\to 0$ равно 2.