Использование комплексных чисел для доказательства теоремы Наполеона

Question

Позволять $ABC$ быть треугольником и воздвигать равносторонние треугольники по сторонам $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ вне $ABC$ с центрами $O_A$, $O_B$, $O_C$. Докажи это$\bigtriangleup O_AO_BO_C$ равносторонний и его центр совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$

Я уже видел этот ответ, доказывающий теорему Наполеона с комплексными числами, но я сомневаюсь в другом,

Теперь в этом ответе https://artofproblemsolving.com/community/c618937h1650553_proposition_634_napoleons_theorem ($5$й пост)

они написали -

$O_AC$ это $\frac\pi6$ вращение $BC$ с последующим расширением с соотношением $\frac1{\sqrt3}$ в $C,$ так что у нас есть

$\begin{align*} \frac{o_A-c}{b-c}&=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3+i}{2}\end{align*}$ но я не могу этого понять, кто-нибудь может объяснить этот шаг, пожалуйста?

Примечание. Я решил эту проблему, используя простую погоню за углом, но я хочу правильно понять, как они получили координаты$O_A$

Спасибо

Answer 1

поскольку $O_A$ центр равностороннего треугольника с $BC$ как одна из его сторон, то $\angle O_ABC=\frac{\pi}{6}$. Более того,$\triangle O_ABC$ равнобедренный с $\angle O_ABC=\angle O_ACB=\frac{\pi}{6}$.

Надеюсь, вы понимаете остальное из этих