Использование неравенства Шварца при доказательстве неравенства Чон Эрдёша

Aug 18 2020

Я пытаюсь понять доказательство неравенства Чон Эрдёша. Все источники, которые я могу найти (включая связанные вопросы и ответы на MSE), содержат что-то вроде следующих строк: если$A_1, \ldots, A_n$ события и если $X_i$ - случайная величина, заданная характеристической функцией $A_i$, $i = 1, \ldots, n$, то из неравенства Шварца следует неравенство:

$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$

Я, наверное, особенно глуп, но я просто не понимаю, как применить неравенство Шварца, чтобы получить указанное выше.

Ответы

2 kimchilover Aug 17 2020 at 22:50

Одна из форм неравенства Коши-Шварца состоит в том, что $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (Это обычное неравенство CS, применяемое к пространству действительных случайных величин со вторыми моментами, со скалярным произведением$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)

Примените это в случае $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ и $V=I_{U>0}$. Обратите внимание, что$E[U]=E[UV]$, это $V^2=V$ и это $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, обеспечивая ваше неравенство $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$

1 Malkoun Aug 17 2020 at 22:49

Позволять $X = X_1 + \cdots + X_n$ и обозначим через $f$ его функция плотности вероятности.

Написать $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. потом

$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$

пользователя Cauchy-Schwarz.