как det (A) = 0 означает, что решение не единственное? [дубликат]

Question

Решение матричного уравнения Ax = b, где $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

не уникально, если векторы $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$линейно зависимы. Тогда по свойствам определителя$$ \det A=0. $$Однако всегда ли следует, что если det A = 0, векторы-столбцы A линейно зависимы? Кто-нибудь может представить доказательства?

Answer 1

Одно возможное доказательство:

• Предположим, что столбцы линейно независимы.
• Преобразуйте матрицу в форму эшелона столбцов, начиная с последнего столбца и двигаясь в обратном направлении.
• Вы знаете, что количество линейно независимых столбцов - это количество ненулевых столбцов, которые у вас останутся. Однако, поскольку вы предположили, что столбцы независимы, нулевых столбцов нет.
• Другими словами, у вас получилась треугольная матрица со всеми ненулевыми элементами по диагонали. Его определитель отличен от нуля.
• Однако элементарные преобразования, которые мы используем при преобразовании матрицы в форму эшелона строки / столбца, не изменяют свойство диагонали на ноль или ненулевое значение.
• Таким образом, определитель изначально был ненулевым.

Answer 2

Если в первом столбце все $0$х, ясно. В противном случае рассмотрим строку с первым элементом$\ne 0$. Переставьте его так, чтобы он стал первым рядом. Определитель по-прежнему$0$, система эквивалентна предыдущей. Теперь уменьшите все элементы в первом столбце ниже первой строки. Определитель еще$0$, система по-прежнему эквивалентна. Теперь посмотрим на матрицу, образованную удалением первой строки и столбца. Определитель$0$. Примените индукцию, найдите ненулевое решение$(x_2, \ldots, x_n)$. Теперь используйте исходное первое уравнение, чтобы получить$x_1$. Теперь у нас есть ненулевое решение для всей системы.