как доказать, что сегмент $IF=HF+GF$

Question

$AE$ и $CD$ биссектрисы угла $\triangle ABC$. $F$ это произвольная точка на линии $DE$. Докажи это$GF+HF=IF$.

я заметил $3$вписанные четырехугольники. Любые идеи. Вот картинка

Answer 1

Рассмотрим трилинейные координаты (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) сначала в случае, когда $F$ находится внутри треугольника $ABC$.

$D$ и $E$, будучи ступнями угловых биссекторов, имеют соотв. трехлинейная координата$(1,1,0)$ и $(0,1,1)$. Следовательно, трилинейное уравнение прямой$DE$ является:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Устный перевод $(x=FG,y=FH,z=FI)$, мы получаем:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( что не является данными отношениями! )

Сейчас если $F$ не внутри треугольника $ABC$, вот другие случаи:

• В случае, изображенном на данном рисунке ($F$ "только снаружи" $[DE]$ на стороне $E$), только одна из трилинейных координат, $FG$, претерпевает смену знака; поэтому (1) становится:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

что составляет на этот раз данные отношения !

Если в случае данного рисунка, $F$ далеко, происходит вторая смена знака, теперь для расстояния со знаком $FH$, превращая (2) в:

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

что является третьей формулой.

• если, наоборот, $F$ находится за пределами линейного сегмента $[D,E]$ но на стороне $D$, мы должны изменить $FI$ в свою противоположность в (1), возвращая соотношение (3).

Замечание о соотношении (0): мы получили его, вычисляя мультипликативную константу; это неважно, потому что мы имеем дело с отношениями, в правой части которых находится ноль.