Как $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ масштабироваться с $N$ ( $\{\cdot\}$ обозначает дробную часть)
Позволять $x$ быть иррациональным числом (я был бы рад ответить на вопрос для конкретного выбора, например $\pi$). В соответствии с
За $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, набор $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ плотно на $[0,1)$,
набор $\{nx\}$ плотно в $[0,1]$, где $\{\cdot\}$- дробная часть. Таким образом,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ сходится к $0$ за $N\rightarrow\infty$. Что-нибудь известно о масштабировании этой серии, например$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$
Ответы
Как правило, мы не можем сказать больше о $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ чем $m(N) \to 0$. Хотя для всякого иррационального$x$ их бесконечно много $N$ с участием $m(N) < \frac{1}{N}$, для каждой функции $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ с участием $f(N) \to 0$ мы можем найти (бесчисленное множество) иррациональных $x$ с участием $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ В этом смысле, $m_x$ может стремиться к $0$сколь угодно медленно. Но с точки зрения эвристики типичное поведение таково:$m_x(N)$ не склонен $0$ намного медленнее, чем $\frac{1}{N}$.
Понимать $m$мы можем использовать расширение непрерывной дроби (в частности, расширение простой непрерывной дроби)$x$.
Поскольку, насколько мне известно, мы мало что знаем о расширении непрерывной дроби $\pi$ (мы «знаем» первые несколько миллиардов терминов, но не знаем, что происходит после этого), мы не можем (пока) исключить, что $m_{\pi}(N)$ как правило $0$ очень очень медленно. Но мы ожидаем, что это не так.
С другой стороны, для каждого $x$ чье разложение непрерывной дроби имеет ограниченные частные частные (называемые «коэффициентами» или «членами» в статье в Википедии), в частности, для всех квадратичных иррациональных чисел (они имеют периодические непрерывные дроби), мы имеем $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$, так что такие вещи, как $m_{\sqrt{2}}$можно достаточно хорошо проанализировать. Расширение непрерывной фракции$e$ имеет неограниченные частные частные, но имеет известный регулярный образец, и мы имеем $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.
Давайте посмотрим на (простые) непрерывные дроби. Индексация начинается с$0$, то $k^{\text{th}}$ сходится к иррациональному $x$ с непрерывным расширением фракции $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ будет обозначаться $p_k/q_k$, то $k^{\text{th}}$ полное частное $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ по $\alpha_k$.
Первое важное наблюдение заключается в том, что сходящиеся частицы попеременно меньше и больше, чем $x$, у нас есть $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ с участием $0 < \delta_k < 1$. (У нас есть гораздо лучшие оценки сверху для$\delta_k$, но здесь меня интересует только знак различия.)
Еще один важный факт заключается в том, что подходящие дроби дают наилучшие рациональные приближения к $x$ в очень сильном смысле:
Позволять $k > 1$. Тогда для всех натуральных чисел$q < q_{k+1}$ и все целые числа $p$ у нас есть $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ с равенством тогда и только тогда, когда $p = p_k$ и $q = q_k$.
Определим положительные числа $\varepsilon_k$ по $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. Из$(1)$ это следует из того $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ для всех $k \geqslant 1$. Повторяемость сходящихся вместе с$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ дает \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Таким образом, мы имеем $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ по крайней мере для всех $N$ так что есть $k \geqslant 1$ с участием $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$, и, конечно, таких бесконечно много (по крайней мере, по одному на каждый $k$).
С другой стороны, между $q_{2k+1}$ и $q_{2k+2}$могут случиться плохие вещи. Сначала отметим, что у нас всегда есть$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ и $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ за $k \geqslant 1$. Также для$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ у нас есть $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ Мы видим, что знаменатели $q_{2k} + rq_{2k+1}$ давать новые минимумы для $\{n x\}$ (на самом деле еще нет, мы также должны учитывать другие $q$ между $q_{2k+1}$ и $q_{2k+2}$, но писать такой $q$ в виде $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ с участием $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ и $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ мы можем использовать $(1)$ чтобы увидеть это $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ когда $s \neq 0$), но убывают они довольно медленно.
Теперь предположим частное частное $a_{2k+2}$ очень большой, и выберите $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Тогда для$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ у нас есть $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ и $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (поскольку $q_{2k+1} > 2$ за $k \geqslant 1$). Учитывая любые$f \in o(1)$ и начальная часть $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ непрерывной дроби, мы всегда можем выбрать $a_{2k+2}$ настолько большой, что $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ сказать.
Таким образом $m_x$ может стремиться к $0$ медленно, если непрерывная часть $x$ имеет огромные частичные частные с четным индексом (частные частные с нечетным индексом могли бы войти в картину, если бы вы учли $\max \:\{nx\}$ или эквивалентно $\min \:(1 - \{nx\})$ вместо или в дополнение к $\min \: \{nx\}$).
Однако обычно частные частные малы по сравнению со знаменателями подходящих дробей, и если мы имеем $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ для всех (достаточно большой) $k$, то имеем $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ За $x$ с ограниченными частными частными мы можем взять $\varphi$ как постоянная функция, а для $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ у нас есть $a_n \ll n$ в то время как $q_n \gg c^n$ для некоторых $c > 1$откуда $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.
За $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ частные частные $a_2 = 15$ и $a_4 = 292$ велики относительно индекса, но не так велики относительно знаменателей $q_1 = 7$ и $q_3 = 113$. Среди первых$20000$частные частные есть несколько больших , но относительно соответствующих знаменателей$q_k$тем не менее они очень маленькие. Конечно, мы не можем сделать из этого какие-либо выводы, но пока имеющиеся у нас данные не указывают на то, что$m_{\pi}$ как правило $0$ медленно.