Как найти количество различных полиномиальных функций из $\mathbb{Z}_2$ к $\mathbb{Z}_2$? [дубликат]
Для любого положительного целого числа $n$, сколько существует многочленов степени $n$ над $\mathbb{Z}_2$? Сколько различных многочленов функционируют из$\mathbb{Z}_2$ к $\mathbb{Z}_2$?
Попытка: первая часть мне понятна, так как есть $2$ выбор для каждого коэффициента, и есть $n$ коэффициент так что есть $2^n$такие многочлены. У меня проблемы с пониманием второй части, где мне нужно найти различные полиномиальные функции.
Если я предполагаю $p(x)$ и $p'(x)$ - две равные полиномиальные функции над $\mathbb{Z}_2$ такой, что $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ и $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, тогда $p'(x)=p(x)$ за $x=0,1$. Так$a'_0=a_0$. А поскольку степень этих многочленов равна$n$ тогда $a_n=a'_n=1$. Таким образом, чтобы найти различные полиномиальные функции, мы должны учитывать, когда$p(x)$ не может быть равным $p'(x)$ для каждого значения $x\in\{0,1\}$. Отсюда я не могу продолжить. Искал решения. Везде вижу, что спор начали с того, что есть только$4$таких многочленов, и затем они дают примеры таких многочленов. Мне нужна помощь, чтобы разобраться в этой проблеме. Спасибо
Ответы
Всего 4 различных функции $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. Это связано с тем, что мощность множества функций$A \to B$ является $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ всякий раз, когда $A,B$ конечные множества.
Бывает, что это полиномиальные функции. Действительно они$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Итак, мы нашли их все.
Над $\Bbb{Z}_2$, многочлен $x(x+1) = x^2 + x$ идентично $0$, а это значит, что я могу заменить $x^2$ с участием $x$в любом полиномиальном выражении и получить то же значение. Используя это неоднократно, более$\Bbb{Z}_2$, многочлен $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ всегда дает то же значение, что и полином $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ и так есть только $4$ различимые многочлены над $\Bbb{Z}_2$, в зависимости от того, $a_0 = 0$ или же $1$, и будет ли $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ или же $1$.
Ответ на ваш первый вопрос должен быть $2^{n-1}$ скорее, чем $2^{n}$ поскольку коэффициент $x^n$ всегда $1$.
Для второй части обратите внимание, что набор всех полиномиальных функций - это набор всех функций в вашем случае.
РЕДАКТИРОВАТЬ: в комментарии указано, что первая часть этого ответа неверна.