Как найти порядок группы жестких движений платоновых тел в $\mathbb{R}^3$?
Следующее появляется как упражнения в Алгебре Даммита и Фута (Раздел $1.2$ - Диэдральные группы):
- Позволять $G$ - группа жестких движений в $\mathbb{R}^3$тетраэдра. Покажи это$|G| = 12$
- Позволять $G$ - группа жестких движений в $\mathbb{R}^3$куба. Покажи это$|G| = 24$
- Позволять $G$ - группа жестких движений в $\mathbb{R}^3$октаэдра. Покажи это$|G| = 24$
- Позволять $G$ - группа жестких движений в $\mathbb{R}^3$додекаэдра. Покажи это$|G| = 60$
- Позволять $G$ - группа жестких движений в $\mathbb{R}^3$икосаэдра. Покажи это$|G| = 60$
Из этого ответа я понял, что жесткие движения являются изометриями, сохраняющими ориентацию, то есть отражения не допускаются.
Итак, для тетраэдра я подумал об осях симметрии, проходящих через вершину и центр тяжести противоположной грани. Таких осей четыре (назовем их$A,B,C,D$). Вдоль каждой оси мы можем определить$1_i, r_i, r_i^2$ как три вращения с $r_i^3= 1$, элемент идентичности ($i=A,B,C,D$). Так как таких осей четыре,$|G| = 3\times 4 = 12$. Это нормально, или я что-то упускаю? Меня немного беспокоит тот факт, что$1_A,1_B,1_C,1_D$ Может быть, все они одинаковы (поскольку они являются преобразованиями идентичности), и что я переоцениваю?
Второстепенный вопрос (обходной путь): тождественные преобразования, соответствующие разным осям, различны или одинаковы?
Для куба я сделал следующее:
- Для каждой пары противоположных граней у нас есть ось симметрии. Есть$3$ такие пары, следовательно $3$ такие топоры (скажем $A,B,C,D$). О каждой оси мы определяем$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ с участием $r_i^4 = 1$ где $i=A,B,C,D$.
- Есть четыре диагонали тела (скажем, $E,F,G,H$), а вокруг каждой диагонали (оси симметрии) определим $1,r_j,r_j^2$ с участием $r_j^3= 1$ где $j=E,F,G,H$.
С учетом проведенных выше расчетов имеем $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
В дальнейшем использование этого метода становится затруднительным для более крупных твердых частиц. Определить вручную все оси симметрии непросто. Более того, единственная группа, о которой я кое-что узнал на данный момент, это$D_{2n}$, поэтому просьба не давать таких решений, как "требуемая группа$G$ изоморфна известной и хорошо изученной группе $X$, и мы знаем $|X| = ?$ так $|G| = ?$"
Я думаю, это сводится к тому, чтобы научиться правильно считать все отдельные жесткие движения. Может ли кто-нибудь помочь мне с этим?
Я наткнулся на решения Джеймса Ha, здесь , но я не понимаю , как решения , представленные в формате PDF являются эквивалентными помоему даже для тетраэдра и куба случаев. Было бы хорошо, если бы кто-нибудь помог мне увидеть эквивалентность, а также подскажет, как поступить с другими платоновыми телами! Большое спасибо!
Ответы
Чтобы добавить некоторые уточнения к существующим ответам и дополнительные комментарии:
Как упоминает orangeskid, вы можете вывести размер группы симметрии по количеству преобразований между двумя краями. Вот способ увидеть это более ясно:
Рассмотрим ориентированные ребра многогранника, состоящие из вершины и ребра, выходящего из этой вершины (или, что то же самое, ребра с одним из выделенных концов). Если у нас есть$e$ рёбер, то имеем $2e$этих направленных ребер. Поскольку мы используем Платоновы тела, каждое из них можно сопоставить с любым другим (это довольно легко следует из большинства определений Платоновых тел, но должно быть довольно интуитивно понятным).
Но как только мы узнаем, что один направленный край $(v_1,e_1)$ переходит к другому направленному краю $(v_2,e_2)$, мы полностью указали поворот: как только мы переместим $v_1$ к $v_2$, мы ограничили возможные вращения одной осью, вокруг которой все может вращаться (поскольку у нас есть точка, которая теперь неподвижна), и только один из этих способов поворота будет двигаться $e_1$ к $e_2$.
В частности, это означает, что поворот однозначно определяется тем, где он берет одно направленное ребро; поскольку каждый из$2e$ возможности дает уникальное вращение, должно быть $2e$ возможных поворотов всего.
(Если мы разрешаем преобразования с изменением ориентации, их будет вдвое больше; для каждого способа перехода от одного направленного края к другому мы получаем второе преобразование, фиксирующее это направленное ребро путем отражения вокруг него.)
Что касается преобразований идентичности, фиксирующих ось, все это одно и то же преобразование идентичности; они оставляют форму неизменной.
Чтобы более четко определить типы (сохраняющих ориентацию) вращений, возможных для каждого возможного платонического тела:
Для каждого платонического тела возможны вращения либо нетривиальное вращение вокруг вершины, либо $180^\circ$ вращение вокруг ребра, нетривиальное вращение вокруг грани или тождественное преобразование.
У тетраэдра грани противоположные вершины, поэтому есть $4\cdot (3-1)$ нетривиальные вращения вершин / граней, $1$ личность, и $3$ крайние сальто ($6$ ребер, но два используются на переворот), в общей сложности $12$.
Для куба есть $8\cdot (3-1)/2$ вращения вершин, $6\cdot(4-1)/2$ повороты лица, $12/2$ крайние сальто, и $1$ личность, в общей сложности $24$.
Для октаэдра есть $6\cdot(4-1)/2$ вращения вершин, $8\cdot (3-1)/2$ повороты лица, $12/2$ крайние сальто, и $1$ личность, в общей сложности $24$.
Для додекаэдра есть $20\cdot(3-1)/2$ вращения вершин, $12\cdot(5-1)/2$ повороты лица, $30/2$ крайние сальто, и $1$ личность, в общей сложности $60$.
Для икосаэдра есть $12\cdot(5-1)/2$ вращения вершин, $20\cdot(3-1)/2$ повороты лица, $30/2$ крайние сальто, и $1$ личность, в общей сложности $60$.
Ничто не заменит вырезание из картона четырех равных равносторонних треугольников и скрепление их вместе в виде тетраэдра. Как только вы это сделаете, поместите кончик пальца в центр края, а другой - в центр противоположного края. Затем вращайте тетраэдр вокруг оси, соединяющей кончики пальцев. Вы должны обнаружить, что$180^\circ$вращение возвращает тетраэдр к самому себе. По моему опыту, это трудно представить себе, пока вы не сделаете это физически.
Таких пар противоположных ребер три и, следовательно, три таких $180^\circ$вращения. Эти вместе с тождеством и восемью вращениями$\pm120^\circ$ относительно различных осей, соединяющих центр тяжести грани с противоположной вершиной, учитывают все вращательные симметрии тетраэдра.
Другие Платоновы тела имеют похожие $180^\circ$вращения. Но если вам просто нужен счет, вы можете сделать что-нибудь попроще. Начните с одной стороны твердого тела, обращенной к вам с фиксированной ориентацией (скажем, один край горизонтален). Если это$m$-стороннее лицо, есть $m$ края, которые могут быть горизонтальными, и эти $m$ориентации можно получить друг от друга, вращая вокруг центра лица. Теперь, если твердое тело$f$ лица, любое из $f$можно привести в положение «лицом к себе» вращением. Так должно быть$mf$вращательные симметрии. Этим объясняется все.
Ответ orangeskid похож на этот, но даже проще. Начните с края к себе, ориентированного горизонтально. Пусть горизонтальная плоскость, содержащая это ребро, такова, что она делит двугранный угол между двумя гранями, которые встречаются вдоль этого ребра. (Другими словами, с вашей точки зрения, эти два лица, которые отклоняются от вас, будут казаться равными.) Теперь вы можете делать$180^\circ$вращение обсуждалось выше, но вы также можете повернуть любой другой край твердого тела в положение "лицом к вам". Так что есть$2e$ симметрии.
Для многогранников в $3$ пространство вы можете показать, что край $a$ можно перенести на другой край $b$ от $2$ преобразование твердого тела с сохранением ориентации (получить одно, а затем также можно вращать вокруг $b$). Если рассматривать все трансформации, то есть$4$ такие преобразования. преобразования.
Следовательно, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, где $e$ количество ребер $S$.