Как найти сумму этой геометрической серии: $ 3+ \sqrt3 + 1 + …$

Aug 20 2020

Я пытаюсь найти сумму этого геометрического ряда, но не могу ее найти:

$ 3+ \sqrt3 + 1 + ...$

Я получаю следующее решение:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

но ключ ответа показывает:

$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}$

Это упражнение из книги под названием Pre-Calculus in a Nutshell. Я мог бы решить другие геометрические ряды, но у этого вопроса есть квадратный корень, и я, должно быть, ошибаюсь при упрощении.

Вот шаги, которые я предпринял, чтобы найти свое решение. Может быть, вы видите, где оно идет не так?

Сумма геометрической серии равна

$(S) = \frac{a}{1-r}$когда | r | <1

$3*r=\sqrt{3}$

Следовательно:

$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$|\frac{3}{\sqrt{3}}|<1 $ так что я могу использовать эту формулу

$a=3$

что дает мне

$S=\frac{3}{1-\sqrt{3}}$

упрощая, я получаю:

$S=\frac{3*(1+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}*(1+\sqrt{3})}$

$S=\frac{9+3\sqrt{3}}{1- (-3)}$

Еще упрощение:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

Ответы

3 SiongThyeGoh Aug 20 2020 at 11:15

Действительно, общее соотношение было неправильным, оно должно быть $\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

\begin{align} S &= \frac{3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt3}=\frac{9(3+\sqrt3)}{9-3} =\frac{3(3+\sqrt3)}2 = \frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2} \end{align}

Изменить: альтернативная работа:

$$S=\frac{3}{1-\frac1{\sqrt3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt3-1}=\frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}$$

1 OscarLanzi Aug 20 2020 at 17:17

Вы также сделали вторую ошибку. В вашей работе$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(-3)$. Но на самом деле$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(+3)$.

Подсказка по поводу геометрического ряда: когда ряд сходится, его сумма должна иметь тот же знак, что и первый член, и быть более чем вдвое меньше по модулю; таким образом, если бы первый срок был$1$ сумма могла быть $+3/5$ но нет $+2/5$ или же $-3/5$.