Как научиться изучать дифференциальную геометрию для применения ее в статистике
В основном я хочу изучить информационную геометрию или, в частности, применение дифференциальной геометрии в статистике для выполнения проекта. У меня статистический фон и есть знания о реальном анализе, исчислении нескольких переменных, линейной алгебре. Один из моих профессоров сказал мне, что первых трех глав Дифференциальной геометрии ду Карму будет достаточно. Может ли кто-нибудь меня заверить, достаточно ли этого или мне нужно изучать риманову геометрию. И если мне нужно изучить риманову геометрию, то каким должен быть мой путь обучения? Я не хочу изучать строгую математику. Я просто хочу применить это к статистике.
Ответы
Авишек, нелегко ответить с учетом того небольшого контекста, который вы предоставили.
Сначала я бы сказал то, что сказал ваш профессор, и да, ду Карму - это то место, куда можно пойти.
Там вы узнаете все о поверхностях в $R^n$, которая по сути является классической дифференциальной геометрией.
Если же, с другой стороны, ваш проект находится на исследовательском уровне (например, магистерская диссертация или выше), скачайте эту статью . Это связано с абстрактной информационной геометрией, которая, в свою очередь, опирается на современную дифференциальную геометрию: многообразия, тензорное исчисление и т. Д. По сути, главное различие между первым и вторым состоит в том, что в теории многообразий вы начинаете не с вложенного многообразия, а скорее вы внутренне определяете весь механизм.
Если вы не знаете классическую геометрию поверхностей, вам все же придется потратить несколько дней на ду Карму. Затем приготовьтесь много потеть, чтобы освоить современный подход.
Надеюсь, поможет
Думаю, ду Карму - хороший вариант. Лично я поклонник книги Джона Ли «Введение в гладкие многообразия» и ее продолжения «Римановы многообразия». Хотя они написаны на более высоком уровне, они действительно подчеркивают геометрическую картину в работе.
Я считаю, что обзор Nielsen - хорошая статья, и я счел очень полезным получить широкий обзор IG. Однако я бы не рекомендовал использовать его для изучения дифференциальной геометрии. В большинстве книг по информационной геометрии используется весьма своеобразный подход к геометрии, который может вызвать различные недоразумения. Это не большая проблема, если вы уже знакомы с дифференциальной геометрией, но большая проблема, если вы пытаетесь ее изучить.
Обе эти работы стоит прочитать, если вас интересует IG, но я приведу пример того, что я имею в виду. И книга Амари, и обзорная статья Нильсена утверждают, что голономия плоской связности тривиальна (хотя они не используют этот язык). В информационной геометрии интересующие нас плоские связи обычно относятся к экспоненциальным семействам (где в конечном итоге это так). Однако в общем случае голономия плоской связности не равна нулю (она индуцирована фундаментальной группой). Кроме того, для этого результата соединение должно быть без кривизны и кручения (а не только без кривизны). Обычно считается, что статистические многообразия имеют соединения без кручения, поэтому для приложений это не проблема. Это относительно второстепенные моменты, если вы знакомы с дифференциальной геометрией,но будет вводить в заблуждение кого-то, кто его изучает.