Как показать неравенство треугольника и этот открытый шар является компактным идеалом?

Aug 19 2020

На кольце $F_p[[X]]$ формальных рядов с коэффициентами в поле с $p$ элементы у нас есть метрика $$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$ У меня две проблемы

  1. Проблема с отображением треугольного неравенства . Мне удалось только увидеть, как это выглядит$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$Я попытался применить логарифм к обеим сторонам, но безрезультатно. И я не знаю никакого разумного неравенства с властями.

  2. Проблема с отображением открытого шара относительно этой метрики с центром в $0$ и любой положительный радиус является компактным идеалом в $F_p[[X]]$. Наш мяч имеет форму ($r>0$) $K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.

На мой взгляд, мы должны показать, что

а) $K_{0,r}$ непусто и $\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,

б) если $\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$ тогда $\gamma \alpha \in K_{0,r}$,

б) если $\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$ тогда $ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.

К сожалению, я не знаю, как это доказать, более того, как показать, что этот идеал компактен.

Ответы

1 BrianM.Scott Aug 19 2020 at 07:08

На самом деле это ультраметрическое пространство : если$g,f,h\in F_p[[X]]$, тогда $d$удовлетворяет сильному треугольному (или ультраметрическому ) неравенству :

$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$

Для отчетливого $f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$ позволять

$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$

чтобы $d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.

Позволять $f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$, $g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, а также $h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. Четко$(1)$ имеет место, если $f=h$, $h=g$, или же $f=g$, поэтому предположим, что $f,g$, а также $h$все различны. Позволять$k=\delta(f,h)$ а также $\ell=\delta(h,g)$, и без ограничения общности считаем, что $k\le\ell$. потом$a_n=b_n=c_n$ для каждого $n<k$, так $\delta(f,g)\ge k$, и поэтому

$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$

по желанию.

В этом ответе я доказал, что открытый шар в ультраметрическом пространстве также является замкнутым множеством. (Обозначения взяты из PDF-файла, с которым связан OP, и немного странно:$B(x,r^-)$ это просто открытый шар радиуса $r$ сосредоточен на $x$.) В этом ответе я показал, что открытые шары с центром в начале координат в$\Bbb Q_p$компактны; немного поработав, вы сможете адаптировать его для мячей в$F_p[[X]]$.

В остальном обратите внимание, что открытые шары с центром в $0$ все имеют следующий вид:

$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$

Используя это, нетрудно показать, что $fg\in B_k$ в любое время $g\in B_k$: если $g\in B_k$, он имеет коэффициент $X^k$, а значит, и $fg$. Проверить, что он закрыт при добавлении, также несложно.