Как получить «хорошо известное» решение для неограниченного увеличения массива?
Может ли кто-нибудь указать мне на веб-страницу или другой ресурс, который показывает, как аналитически решить выражение Unconstrained Array Gain для формирователя луча в статье Генри Кокса 1987 г. IEEE «Надежное адаптивное формирование луча»?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Кокс говорит:
Известное решение: $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
Я просто хотел бы лучше понять это, научившись выводить это самостоятельно.
Ответы
Решить такую задачу можно с помощью метода множителей Лагранжа . Сначала обратите внимание, что максимизация выражения в вашем вопросе эквивалентна минимизации обратной функции:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
Далее обратите внимание, что решение $(1)$ инвариантен к масштабированию $\mathbf{w}$, т. е. замена $\mathbf{w}$ от $c\cdot\mathbf{w}$ в $(1)$ с произвольной скалярной постоянной $c$не изменит значение функции. Так что мы можем также использовать масштабирование так, чтобы$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$доволен. Это масштабирование соответствует единице отклика для полезного сигнала. С этим ограничением проблема$(1)$ можно переформулировать как
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
Мы можем решить $(2)$ используя метод множителей Лагранжа путем минимизации
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
Формально взяв производную от $(3)$ относительно $\mathbf{w}^H$ и установка его на ноль дает
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
Ограничение в $(2)$ удовлетворен для
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
От $(4)$ и $(5)$ окончательно получаем
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
Обратите внимание, что масштабирование в $(6)$ не является обязательным, и общее решение дается формулой $(4)$.
Во-первых, набросок решения проблемы формирователя луча с максимальным SINR. $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Начните с написания функционала $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$быть минимизированным, и набор ограничений . Действительно, весовые векторы w и w H считаются двумя независимыми наборами переменных при производных по этим переменным; следовательно, энергия выходного сигнала, обычно записываемая как квадрат модуля произведения весовых коэффициентов и сигналов, должна быть записана как аналитическая функция без вычисления нормы, извлекающей квадратный корень:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ Результирующий набор линейных ограничений равен $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ и мы должны записать лагранжиан с двумя множителями Лагранжа, λ и μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Взяв две производные лагранжиана - первую по w и вторую по w H - мы получаем выражения для λ и μ , и, подставляя их в выражения ограничений, наконец, получаем формула для весов:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$К моему удивлению, поискав в Интернете "веб-страницу или другой ресурс, который показывает, как аналитически решить формирователь луча" по запросу OP, я смог найти только урезанные, ошибочные версии вывода этой формулы, типичным документом является заметка курса Оптимальное формирование луча , подробное и полезное введение в предмет во всех других аспектах. Я даже подозреваю, что ОП разместил вопрос с целью транслировать это упущение учебного ресурса (извините за неловкую попытку пошутить).
На данный момент я могу рекомендовать учебный материал по общему квадратичному программированию с линейными ограничениями только студентам, интересующимся оптимальным формированием луча. Например, исх.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf и https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. В этих документах рассматриваются только квадратичные формы с действительными значениями, но основные результаты можно обобщить на комплексную область.