Как правильно записать умножение между скаляром и вектором?
Правило умножения матриц гласит, что количество столбцов левого операнда равно количеству строк правого операнда.
$M*N$ если M имеет $n$ столбцы и N должны иметь $n$ ряды.
Следуя этому соглашению, естественный способ записать умножение между вектором и скаляром - это поместить вектор в левую часть, взяв скаляр как матрицу 1 на 1.
однако я обнаружил, что довольно часто люди не следуют приведенному выше правилу: используя в качестве примера собственное разложение:
вики по собственному разложению
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
Есть ли какое-то эмпирическое правило, которое поможет нам, когда мы должны поместить скаляр в левую часть?
Ответы
Скалярное умножение и умножение матриц - это две отдельные операции. Хотя в них есть одно и то же слово «умножение» - они совершенно разные.
Умножение матриц не коммутативно, поэтому вы должны поместить правильную матрицу с правой стороны, это не связано с соглашениями. Скаляры коммутативны, и их можно размещать с любой стороны.
Я не думаю, что существует письменное соглашение как таковое - люди просто привыкли ставить коэффициенты перед другими терминами. Если вы поместите скаляр справа, в зависимости от области, в которой вы работаете, некоторые люди, читающие ваши выражения, могут остановиться и подумать: «Хах, подожди, мы работаем с некоммутативной алгеброй?» на мгновение. Также некоторые люди могут подумать: «Хах, это скаляр или я что-то упустил?». Читателю может потребоваться несколько дополнительных мозговых циклов, поэтому я бы оставил скаляры слева, но, вероятно, не будет трагедией, если вы поместите их на другую сторону.
Хотя можно имитировать скалярное умножение, используя$1\times n$ или $n \times 1$матрицы - это не то, что есть по сути. Опять же - это разные операции, и только одна из них коммутативна.
Это просто вопрос условных обозначений. Обычно аксиомы векторного пространства формулируются записью скалярного умножения в виде$$\lambda \cdot v$$ где $v \in V$ и $\lambda$ принадлежит земельному полю $K$. Причина в том, что мы обычно понимаем, что в продукте$\mu \cdot \lambda$ элементов $K$у нас есть первый фактор$\mu$и второй фактор$\lambda$. В поле (умножение которого коммутативно) порядок множителей кажется несущественным (потому что$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), но в кольце $R$(умножение которых, вообще говоря, некоммутативно) порядок существенен. Это касается, например, кольца$n\times n$-матрицы над полем. Одна из аксиом векторного пространства:$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ что мнемонически проще, чем та же формула, записанная с помощью скалярного умножения справа $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ Хорошо, для поля это не имеет большого значения, поскольку в нем написано то же, что и $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$Но обратите внимание, что понятие векторного пространства может быть обобщено на понятие модуля над кольцом.$R$и здесь порядок имеет значение. Фактически, различают левую и правую$R$-модули. Слева$R$-муодули обычно записывают скалярное мультипликацию как $\lambda \cdot v$, за право $R$-модули как $v \cdot \lambda$. Смотрите здесь .
Теперь давайте перейдем к сути вашего вопроса. Матричный продукт$A \bullet B$ обычно определяется для $m\times n$ матрица $A$ и $n\times p$ матрица $B$, т.е. мы требуем, чтобы количество столбцов $A$ равно количеству строк $B$. Как вы говорите, скаляр$\lambda$ можно считать $1 \times 1$ матрица $(\lambda)$. Таким образом определены следующие два выражения:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ В $(1)$ $A$называется вектор-строка , в$(2)$вектор - столбец .
Следовательно, это зависит от вашей любимой нотации: если вы рассматриваете элементы $K^n$ в качестве векторов строк вы должны использовать $(1)$, если вы рассматриваете их как векторы-столбцы, вы должны написать $(2)$.
В любом случае, это актуально только в том случае, если вы всеми силами настаиваете на понимании скалярного произведения$\lambda$ и $A$как матричный продукт. Обычно для$A = (a_{ij})$ один просто определяет $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ При этом не имеет значения, рассматриваете ли вы элементы $K^n$ как векторы-строки или как векторы-столбцы.