Как рассчитать $\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$

Aug 20 2020

$$\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$$

Я думаю об использовании предела числа Эйлера, но я думаю, что книга «хочет, чтобы я» вычислил его с помощью следующей леммы:

Если f - двукратная производная в интервале I, с $a \in I. \forall x \in I, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac 12f''(z)(x-a)^2, z$ находится между $a$ и $x$. В частности,$\epsilon(x)=\frac12f''(z)(x-a)^2$

Еще одна вещь, о которой я думаю:

$$x=2y \Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x= \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)^{2y}\\ = \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\exp\left(2y\ln\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)\right)\right)$$

Я иду неправильным путем?

Ответы

1 Axion004 Aug 21 2020 at 12:04

поскольку $\sin(x)\le x$ для всего положительного реального $x$:

$$\sin\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)\le\frac{2}{\lceil{x}\rceil}, $$

где

$$\frac{2}{x+1}\le \frac{2}{\lceil{x\rceil}}\le\frac{2}{x}.$$ Следовательно

$$x\left(\frac{2}{x+1}\right)^x\le x\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)^x\le x\left(\frac{2}{x}\right)^x,$$

а ваш предел следует из теоремы сжатия.

2 zkutch Aug 20 2020 at 14:32

$$x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x \leqslant x \left(\frac{1}{2}\right)^x$$