Как решить $x^{T}Ax = 0$?

Dec 03 2020

Данная матрица $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, как мне решить $x^{T}Ax = 0$ для $x \in \mathbb{R}^n$?

Очевидно, нулевой вектор всегда является решением, и если $A$положительно или отрицательно определенно нет другого решения. Однако меня интересуют случаи, когда$A$ни то, ни другое. Я просто привел несколько примеров и считаю, что решение в двумерном случае обычно должно описывать одну или две линии, но аналитическое решение ускользает от меня.

Вопрос Решение квадратных уравнений вида$x'(A-B)x = 0$кажется тесно связанным, но он только спрашивает, есть ли решение, а не как оно выглядит, и запрашивает сложный случай. И, по правде говоря, я все равно не совсем понимаю ответ.

Ответы

2 Hyperplane Dec 03 2020 at 22:49

Подсказка: доказательство того, что $x^T A x = x^T A_+ x$ для всех $x$, где $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ симметричная часть $A$. Затем вы можете применить спектральную теорему.