Как следует называть интеграл CDF?
Это строго номенклатурный вопрос. У меня нет особых проблем с поиском двойных интегралов типа$\int\int\text{pdf}(y) \, d y \,d x$, и я считаю их весьма полезными. В то время как у нас есть хорошее имя для$\int\text{pdf}(x) \, dx=\text{CDF}(\textit{x})$, где CDF - это функция кумулятивного распределения (кредит: @NickCox, AKA, плотность), чего у меня нет, так это хорошего названия интеграла CDF.
Я полагаю, что это можно было бы назвать накопленным кумулятивным распределением (ACD), DID (двойной интеграл плотности) или CDF2, но я не видел ничего подобного. Например, можно было бы нерешительно использовать «ccdf» или «CCDF», поскольку это уже используется как аббревиатура для дополнительной кумулятивной функции распределения , которую некоторые предпочитают называть «функция выживания», S$(t)$, поскольку последний, строго говоря, предназначен для RV, тогда как CCDF не от RV; это функция, равная 1-CDF, которая может иметь отношение к вероятности, но не обязательно. Например, PDF часто относится к ситуациям, в которых нет вероятностей, а более общий термин для PDF - «функция плотности». Однако,$df$уже принято как "степени свободы", поэтому вся литература придерживается "PDF". Так что насчет DIPDF, "двойной интеграл от PFD, немного длинный, то есть. DIDF? ICDF для интеграла кумулятивной функции распределения (плотности)? Как насчет ICD, интеграла кумулятивного распределения? Мне нравится этот, он короткий и говорит все это.
@whuber привел несколько примеров того, как они используются в своем комментарии ниже, и я цитирую: «Верно. Я устанавливаю общую формулу для определенных определенных интегралов CDF на stats.stackexchange.com/a/446404/919. Также тесно связаны stats .stackexchange.com / questions / 413331, stats.stackexchange.com/questions/105509, stats.stackexchange.com/questions/222478 и stats.stackexchange.com/questions/18438 - и я знаю, что есть еще ".
Благодаря вкладу @whuber текст этого вопроса теперь более понятен, чем в предыдущих версиях. Сожалеем @SextusEmpericus, мы оба потратили на это слишком много времени.
И принятый ответ - «суперкумулятивное» распределение , потому что это имя цепляет и использовалось раньше, хотя, откровенно говоря, я бы не знал этого, поэтому, в конце концов, я спросил. Теперь мы впервые определяем SCD как его аббревиатуру. Я хотел аббревиатуру, потому что в отличие от других мест, где$S(x)$ используется для SCD$(x)$(не называя имен), я хотел что-то достаточно уникальное, чтобы не вызывать путаницы. Разумеется, я могу использовать SCD вне чисто статистического контекста в моей собственной работе, но поскольку все используют PDF, даже когда нет p, о котором можно было бы говорить, это в лучшем случае простительный грех.
Изменить: после дальнейшего рассмотрения я назову pdf как$f$ чего угодно, например, $f(x)$, CDF как $F(x)$ и двойные интегралы как $\mathcal{F}(x)$ просто чтобы было проще.
Ответы
Я упоминаю здесь один термин для интеграла CDF, используемый профессором Авинашем Дикситом в его лекции о стохастическом доминировании (на которую я случайно наткнулся совсем недавно). Очевидно, это не очень общепринятый термин, иначе он уже обсуждался бы в этой ветке.
Он называет это суперкумулятивной функцией распределения и используется в эквивалентном определении стохастического доминирования второго порядка. Позволять$X$ и $Y$ быть двумя rv такими, что $E(X) = E(Y)$и имеют такую же ограниченную поддержку. Далее, пусть$S_x(.), S_y(.)$ - соответствующие суперкумулятивные функции распределения.
Мы говорим что $X$ стохастик второго порядка доминирует над $Y$ если только $S_x(w) < S_y(w)$ для всех значений $w$ в поддержку $X, Y$.
Также будет интересно отметить, что для стохастического доминирования первого порядка условие просто заменяется CDF вместо super-cdf.
Отказ от ответственности
Как следует называть интеграл CDF
Предлагаю следующее название «неотъемлемая часть CDF». Если в этом интеграле нет ничего интуитивного, я не понимаю, почему мы должны стремиться к другому названию. Следующий ответ только покажет, что текущий статус состоит в том, что за двойным интегралом PDF или интегралом CDF нет интуитивной идеи (и что примеры не являются примерами интегралов CDF). Это не прямой ответ на вопрос (вместо этого это ответ на то, почему мы не можем ответить на вопрос).
Это не ответ с предложением имени. Это резюме нескольких комментариев, которые могут быть полезны для получения ответа.
На данный момент мне не очень ясно, что должен означать двойной интеграл функции плотности вероятности. У этих двух примеров есть некоторые проблемы: 1 Ваши примеры относятся к физике, а не к вероятности. Есть ли польза от двойного интеграла от плотности вероятности? 2 Кроме того, эти примеры не являются примерами двойного интегрирования.
В этом ответе я буду аргументировать, почему двойной интеграл PDF-файла проблематичен * **, и, возможно, это может привести к разъяснениям в примерах и, в конечном итоге, к вдохновению для названия этого интеграла.
* Существует несколько понятий интеграла $1-CDF$ как в вопросах:
Ожидаемое значение случайной величины путем интегрирования $1-CDF$ когда нижний предел $a\neq 0$? где интеграл$$\int_a^\infty 1-CDF(x) dx$$
Что на самом деле называется функцией ожидаемого частичного значения? где интеграл$$\int_{-\infty}^a 1-CDF(x) dx$$
но я не знаю ничего, что объединяет $CDF$
** Под проблемным я подразумеваю, что это интеграл обширного свойства, но не аддитивно с непересекающимися множествами. Или подынтегральное выражение$dx$ мера пространства - это величина, которую мы складываем и взвешиваем с помощью 1-CDF (x), поэтому мы должны интуитивно видеть ее как сумму по $dx$.
Интеграл по $1-F(x)$ можно преобразовать в сумму по функции квантили $\int_0^b (1-F(x)) dx = \int_{F(0)}^{F(b)} Q(p) dp$и они связаны интегралом от обратных функций, составляющим интеграл по$1-F(x)$эквивалентен интегралу по функции квантили. Для интеграла по$F(x)$у вас нет такой же эквивалентности. Без этой эквивалентности я не вижу никакой интуиции для использования таких интегралов, и становится трудно придумать название.
Плотности
Смысл плотности был предметом в этом вопросе: что мы точно подразумеваем под «плотностью» в функции плотности вероятности (PDF)?
В своем ответе на этот вопрос я связываю плотности с производной Радона-Никодима.
- Плотность как отношение двух мер на одном пространстве. $$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
- Эти две величины / меры являются обширными свойствами. Соотношение - интенсивное свойство
- Интегрируя эту плотность, вы получаете обширную собственность.$$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Таким образом, интеграл плотности вероятности (или нормализованной плотности, используемой в ваших примерах) даст в качестве результата «вероятность». Однако интеграл обширного свойства «вероятность» дает значение, не имеющее четкого использования.
Пример 2
В вашем втором примере, распаде некоторого количества излучающего материала, ваш двойной интеграл не является результатом двойного интеграла интенсивного свойства.
Количество материала $M(t)$ следует дифференциальному уравнению (с $\dot{}$ в отношении дифференциации во времени):
$$\dot{M}(t)= -\frac{ln(2)}{\tau} \cdot M(t) = -\lambda \cdot M(t)$$
где $\tau$ это половина времени, и $\lambda$скорость распада. Решение:
$$\begin{array}{rlcrcl} \text{amount of mass} &[mass] &:& & M(t) &=& 1-e^{-\lambda t} \\ \text{loss rate} &[mass/time]&:& & \dot{M}(t) &=& \lambda e^{-\lambda t} \\ \end{array}$$
Благодаря этому дифференциальному уравнению мы можем написать $\dot{M}(t)$ или $M(t)$ как его интеграл, используя $M(t) - M(r) = - \int_t^r \dot{M}(s) ds$ и если $M(\infty) = 0$ тогда
$$M(t) = M(t) - M(\infty) = - \int_t^\infty \dot{M}(s) ds = \lambda \int_t^\infty {M}(s) ds $$
В вашем примере вы вычисляете общую потерю $Q(a,b)$ (и связанный средний убыток составляет $Q(a,b)/(b-a)$) через некоторый промежуток времени от $a$ к $b$как функция массы. Таким образом получается двойной интеграл
$$\begin{array}{rrcl} \text{total loss between $а$ and $б$} :& Q(a,b) &=& \int_a^b \dot M(t) dt = M(b) - M(a)\\ &&=& \int_a^b -\lambda M(t) dt \\ &&=& \int_{a}^b - \lambda \left(\lambda \int_t^\infty {M}(s) ds \right) dt \\ && =& - \lambda^2 \int_{a}^b \int_t^\infty {M}(s) ds dt \end{array}$$
Кстати. В этом примере интеграл$\int_t^\infty {M}(s) ds$ на самом деле не относится к интегралу CDF, но вместо этого является интегралом функции выживания.
Итак, в этом примере двойной интеграл возникает из отношения $\dot{M}(t) \propto M(t)$и это не столько двойной интеграл «плотности» интенсивного свойства. Есть фактор$\lambda$ с единицами $[1/time]$ который изменяет экстенсивное свойство «количество массы» на интенсивное свойство «скорость потери».
Простое двукратное интегрирование pdf не имеет смысла, и он получает смысл только через дифференциальное уравнение.
Это указывает на то, что для тех примеров, где встречается этот двойной интеграл, мы можем использовать реальный физический смысл интеграла, чтобы «дать имя» двойному интегралу.
Кстати, в вашем примере среднее радиационное воздействие (в виде доли) составляет
$$\dfrac{\text{CDF}(t_2) - \text{CDF}(t_1)}{t_2-t_1} \quad \text{with units} \frac{1}{[time]}$$
вместо того
$$\dfrac{\int_{0}^{t_2}\text{CDF}(t)\,d t-\int_{0}^{t_1}\text{CDF}(t)\,d t}{t_2-t_1} \quad \text{with units} \frac{[time]}{[time]}$$
Вы можете увидеть это по единицам. Общая доля радиационного облучения на единицу меньше. Средняя доля радиационного облучения должна иметь единицы$[1/time]$. Коэффициент$\lambda$ отсутствует, чтобы придать выражению правильные размеры.
Пример 1
Вы можете перемещать один интеграл вверх и вниз, потому что величина является интегралом сама по себе. Это также ясно из статьи, на которую вы ссылаетесь из комментариев «Сравнение свертки гамма-Парето с традиционными методами характеристики фармакокинетики метформина у собак» Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics, том 47, страницы 19–45 (2020) .
В той статье написано
средняя масса за интервал доз, которая записана из функции выживаемости, равна $\Delta S(t)/\tau$, т.е. $S \tau(i) = \frac{1}{\tau} \lbrace S[\tau(i-1)] - S(\tau i) \rbrace$, для $i=1,2,3, \dots$.
В вопросе вы пишете
Затем, чтобы найти среднюю массу лекарственного средства в течение интервала дозирования, нам понадобится интегральное среднее суммарного CCDF в течение этого интервала.
что относится к интегралу $\dfrac{\int_{0}^{t_2}\text{CDF}(t)\,d t-\int_{0}^{t_1}\text{CDF}(t)\,d t}{t_2-t_1}$
Если вы ищете имя этого интеграла, то почему бы просто не использовать имя для эквивалента $\Delta S(t)/\tau$?