Какая связь между Липшицем и $BMO$ пробелы?

Aug 17 2020

Позволять $0 < \alpha < 1$. Космос$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ липшицевых функций порядка $\alpha$ является

$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ Наименьшая такая постоянная $C$ называется $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ норма $f$ и обозначается $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.

Эта норма имеет следующее интегральное представление:

$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ где $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. Понятно, что для$\alpha=0$ правая часть - это определение $BMO$ норма $f$.

Согласно этим фактам можно сказать, что липшицево пространство включает $BMO$пространство? Какая связь между Липшицем и$BMO$ пробелы?

Ответы

2 shalop Aug 19 2020 at 01:40

Я собираюсь определить несколько пространств, которые описывают функции "регулярности". $\alpha$" в некотором смысле.

Пространства Гёльдера: Здесь$\alpha$ будет в $[0,1]$. Определить$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ быть пространством всех функций $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ такой, что $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ для некоторых $C>0$ независим от $x,y \in \Bbb T^n$. Наименьшая такая постоянная$C$ называется полунормой Гёльдера и обозначается $[f]_{\alpha}$. Норма банахова пространства на$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ определяется $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Обратите внимание, что когда $\alpha = 0$ мы просто получаем $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. Эквивалентно можно описать$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ как набор функций $f$ такой, что $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ для всех кубиков $Q \subset \Bbb T^n$, где $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, и $|Q|$ является мерой Лебега $Q$. (Доказать эту эквивалентность сложно.)

Пространства Бесова: Здесь$\alpha$может быть любым действительным числом. Любая функция$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$допускает каноническое разложение, называемое разложением Литтлвуда-Пэли $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. Пространство Бесова$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ состоит из этих функций $f$ такой, что $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ для некоторых $C$ который не зависит от $j$. Наименьшая постоянная$C$для которой выполнено неравенство, называется нормой Бесова. Это индуцирует структуру банахова пространства на$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. Космос$B^1_{\infty,\infty}$называется классом Зигмунда и эквивалентно описывается как множество всех функций$f$ такой, что $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ и $B^0_{\infty,\infty}$ состоит из производных по распределениям функций из класса Зигмунда.

BMO пробелы: Здесь$\alpha$ будет в $[0,1]$. Определим пространство$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ быть пространством всех функций $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ такой, что $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, где над всеми кубиками $Q\subset \Bbb T^n$, и $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, и $|Q|$ является мерой Лебега $f$. Норма на$BMO_{\alpha}$ определяется как супремум, что делает его банаховым пространством.

Непрерывные функциональные пространства: Здесь$\alpha=:k$ должны принимать значения в $\Bbb N$. потом$C^{k}(\Bbb T^n)$ определяется как набор всех функций $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ такие, что все частные производные порядка до $k$непрерывны. Норма определяется как сумма единых норм всех частных производных до порядка$k$. Снова мы получаем банахово пространство.

Итак, теперь вопрос: как связаны все эти пространства?

Теорема 1: если$\alpha \in (0,1)$ тогда $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Все нормы равнозначны.

Теорема 2: для$\alpha = 0$ у нас есть следующие включения: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Так что ни одна из норм не эквивалентна. За$\alpha=1$ мы имеем соответствующую последовательность собственных включений.

По сути, эквивалентности в теореме 1 всегда сводятся к вычислению на диадических блоках. Они терпят неудачу$\alpha=0$ в связи с тем, что сериал $\sum 2^{-\alpha n}$ расходится для $\alpha=0$.