Какое максимально возможное значение $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

Предполагать $X_1,X_2,X_3$ дискретные случайные переменные, определенные на общем вероятностном пространстве $\Omega$ и принимая значения в $\{-1,1\}$. Далее предположим, что$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. Учитывая это, каково максимально возможное значение$E[X_1 X_2 X_3]$?

Это легко увидеть $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ для каждого $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Но как мне двигаться дальше? Любая помощь будет оценена.

Answer 1

Позволять $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Конечно у нас есть $-1 \le a \le 1$

Следуя этой параметризации, мы можем записать совместную вероятность как

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ что дает дополнительные ограничения $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ или $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ и $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Но это проверено первоначальным кандидатом на максимум ($a=1$)

Следовательно, максимум равен $E[X_1 X_2 X_3]=1$ что достигается

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Пусть имеется четыре состояния каждое с вероятностью $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Вы можете проверить выполнение условий. Однако,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

что явно является максимальным значением, которое может принимать это выражение.