Каково выражение для свертки однородной [a, b] плотности и нормальной (0, d ^ 2) плотности?

Aug 17 2020

Предположим, у меня есть $X\sim Uniform[a,b]$ и $Y\sim normal(0,d^2)$, каково выражение для плотности $Z=X+Y$?

Позволять $F_{Z}(z)$ быть cdf $Z$ оценивается в $z$, и разреши $\Phi(\cdot)$ и $\phi$быть стандартными нормальными cdf и pdf соответственно. я получил

$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$,

дифференцировать по отношению к $z$ с обеих сторон дает

$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$ .

Выглядит правильно? Спасибо!

Ответы

1 BruceET Aug 17 2020 at 11:27

Комментарий:

В качестве проверки реальности здесь представлена ​​симуляция свертки $U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$ и $Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$

Таким образом $E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$ и $V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$

set.seed(2020)
a = 2;  b = 7;  sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u);  mean(z);  mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167        # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343        # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144    # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561        # aprx Var(X)
[1] 2.081356        # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333        # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712

hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2", 
 main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
  add=T, col="red", lwd=2)

Примечание. Рисунок изменен после редактирования и комментария OP.