Каковы некоторые из самых ранних примеров аналитического продолжения?

Question

Мне интересно, как Риман знал это $\zeta(z)$может быть расширен на более крупный домен. В частности, кто был первым, кто явно расширил область определения комплекснозначной функции и что это была за функция?

Answer 1

(Расширено 26.01.21

Во-первых, позвольте мне указать тем, для кого английский не является родным, что использование артикля «a» во фразе «комплексная функция» означает, что вопрос касается не только Римана или любой другой дзета-функции. Он включает в себя любую функцию, домен которой является некоторым набором вещественных чисел, поэтому я интерпретирую вопрос как «Кто первым опубликовал расширение области значимой функции от некоторого набора вещественных чисел до некоторой непрерывной области комплекса, и что это была за функция? " Для меня точное значение термина «аналитическое продолжение» и его уникальность - это другой вопрос.

Первое предложение и несколько комментариев сосредоточены на дзета-функции Римана. Риман не был одинок, и его интересы были намного шире, чем могло бы подразумеваться под иногда почти навязчивым вниманием к RH. Его интересы охватывали практически весь комплексный анализ, поэтому для него было естественным рассматривать расширения реальных функций до сложных функций.

Трудно поверить (попахивает каким-то региональным предубеждением), что ни один математик до Эйлера однажды утром проснулся и подумал: «Что, если я изменю свои настоящие формулы, включив этот сумасшедший квадратный корень из -1?» Роджер Котс был заинтересован в этом благодаря своему интересу к астрономии и небесной механике; знакомство с работой своего коллеги Ньютона по ряду повторений тригонометрических функций, их обратных, исчислению и ньютоновской механике; использование логарифмических таблиц, введенных в начале 1600-х годов Нэпьером, для вычислений с большими числами, встречающимися при съемке Земли и неба; и работа по интерполяции (Котеса и Ньютона).

Позвольте мне еще раз подчеркнуть, что Котес был знаком с ньютоновским композиционным обращением степенных рядов (одна формула включает в себя ассоциээдрическую версию формулы обращения Лагранжа для формальных рядов, см. Ферраро ниже), включая формулу для экспоненциальной функции, и, как отметил Гриффитс, комментарий к сообщению « Создание логарифма » Фрейбергера: Без этих таблиц логарифмов не было бы теории Николая Меркатора о площади под симметричной гиперболой, равной логарифму расстояния по оси x, или реверсии Исаака Ньютона формулы гиперболы для получения бесконечного ряда для антилогарифма $e^x$. (Карты Меркатора, начинают видеть точки?) Фактически, Ферраро обсуждает на страницах 74 и 75 книги «Возникновение и развитие теории рядов до начала 1820-х годов», как Ньютон инвертировал степенной ряд для логарифма.$-\ln(1-x)$ для получения степенного ряда антилогарифма $1- e^{-x}$. (Ньютон с его превосходным владением геометрией и анализом наверняка заметил бы здесь простую связь теоремы об обратной функции и между производными двух рядов.)

Следовательно, кажется естественным, что при зарождении исчисления и его ассоциации со степенными рядами и композиционными обратными преобразованиями Котес записал в 1714 году, когда Эйлеру было семь лет,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

зарождающаяся версия невероятной формулы Эйлера 1748 года (см. Википедию )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Очевидная проверка с производной (или флюксиями) проверяет формулу без явного использования экспоненты

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

что, я уверен, было СОП для Ньютона и Котеса - применение цепного правила, также известного в данном случае теоремы об обратной функции, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, что действительно делает формулу очевидной.

В «Истории экспоненциальных и логарифмических понятий» Каджори объясняет, как Джон Бернулли рассматривал решения дифференциального уравнения, преобразованные из действительных чисел в мнимые в 1702 году, и дает Котес вывод своей формулы, которую Котес опубликовал в 1714 и 1722 годах. Каджори также утверждает, что впоследствии Эйлер не стеснялся использовать мнимые числа.

Формула Эйлера в том виде, в котором она написана сегодня, должна была подождать, пока Эйлер и его коллеги не разработали символическое представление экспоненциальной функции. $\exp(z) = e^z$ с участием $e$является константой Эйлера, которую иногда называют константой Напьера, поскольку она встречается в журнальных таблицах Напьера. Это произошло после того, как Гюйгенс и другие объяснили, как много расчетов, лежащих в основе бревна, было объяснено. Экспоненциальную функцию иногда даже называли «антилогарифмом», отражая приоритет журнала, как указано в сообщении журнала.

Логарифмическая формула Коута - это расширение от положительных вещественных чисел до области комплексных чисел аргумента логарифма более сложным способом, чем простая замена $n$ в серии репутации $\zeta(n)$ действительными числами на действительной прямой, а затем другими числами комплексной плоскости.

Согласно статье в Википедии о Котесе, он опубликовал важную теорему о корнях единства (и впервые дал значение в один радиан) в 1722 году в «Теореме Tum logometrica Tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes Expentia, per methodum mensurarum ulterius extensam. "(Теоремы, некоторые логорифмические, некоторые тригонометрические, которые дают текучесть данных потоков с помощью метода мер, который получил дальнейшее развитие). Он довольно хорошо понимал тригонометрию, и с этой точки зрения формулы Котеса и Эйлера можно рассматривать как продолжение решений$|x| = 1$в комплексную плоскость. Решения определяют очень простую функцию с областью 1 и -1 и диапазоном 1, которая затем аналитически продолжается как круг радиуса 1 в сложной области - тип интерполяции (наведите указатель мыши на ссылку интерполяции в Wiki на Roger Cotes ), удовлетворяющего простому функциональному уравнению$|f(x)|=1$. (Другие примеры типов интерполяции / аналитического продолжения от функций с дискретными целочисленными областями к функциям с непрерывными комплексными областями (связанные с интерполяциями Ньютона и синк / кардинальных рядов) приведены в этом MO-Q и этом MSE-Q .)

С более широкой точки зрения формула журнала Котеса является наглядным примером аналитического продолжения журнала как преобразования действительных чисел в действительные в отображение комплекса в комплекс. Котес, конечно же, знал об этом (действительно, использовал и считал само собой разумеющимся, что любой, кто знаком с журналом, тоже знал), поскольку$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

поэтому он записал самую сложную часть аналитического продолжения журнала от положительных действительных чисел к сложным (хотя и не учитывая явным образом множественность)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Refs в Википедии: Джон Напье , История логарифмов , логарифмом , Роджер Котс , тождество Эйлера , формулы Эйлера .

Помимо суммирования Эйлера со сложными аргументами, Эйлер был первым, кто расширил факториал до гамма-функции для сложных аргументов, чтобы развить дробное исчисление с его гибридным интегральным представлением Меллина-Лапласа для гамма-функции (см. « Наследие Эйлера для современной физики. "Даттоли и Дель Франко и MSE-Q, упомянутые выше). Интеграл Эйлера для бета-функции допускает то же самое для обобщенных биномиальных коэффициентов, что Ньютон (опять же, коллега Котеса) сделал для расширения на вещественные числа целочисленных биномиальных коэффициентов. К сожалению, Эйлер не до конца понимал расширение до комплексных чисел (Арган и Вессель появятся позже), иначе он бы увлек Коши, Лиувилля и Римана в области исчисления комплексного анализа.

Для предыстории дзета-функции Римана см. Освальд и Штёдинг « Аспекты теории дзета-функции в математических работах Адольфа Гурвица ». Авторы не говорят, является ли «s» реальным или сложным, в своем обсуждении предыстории дзетов. Для Эйлера и других до Римана было бы естественно рассмотреть$s$сложный. У Эйлера была связь со степенями числа Пи для четных целочисленных аргументов дзета, которые предполагали бы связь с комплексом как через его сказочную формулу, так и через формулу отражения для гамма-функции, но тогда ему нечего было почерпнуть с этой точки зрения без теории Римана. Mellin transform rep. с помощью которой Риман был первым, кто действительно выявил новые свойства дзеты, применил формулу отражения Эйлера, чтобы дать контуру Ганкеля продолжение дзеты от правой полуплоскости до полной комплексной плоскости, и разработать умный алгоритм для определения несоответствия. -тривиальные нули, среди прочего.

Отвлекающий маневр кажется недальновидной попыткой навязать искусственную дихотомию между интерполяцией и аналитическим продолжением. Я использую интерес и умение Кота (и Ньютона) к интерполяции в реальном мире (определенно связанное с приближением небесных орбит), чтобы указать, что он был предрасположен к аналитическим продолжениям. Кроме того, здесь нет дихотомии. В нескольких вопросах MO и MSE я показываю, как интерполяция связана с аналитическим продолжением факториала к гамма-функции, чисел Бернулли к дзете Римана, полиномов Бернулли к дзете Гурвица и классическому исчислению целочисленных степеней производной op для комплексных нецелочисленных значений, среди других интерполяций / AC (например, начать с этого MO-Q или этого MO-Q). Они могут быть связаны с интерполяцией функции sinc / кардинального ряда, интерполяцией биномиального разложения и / или интерполяцией Ньютона и, возможно, другими (например, этот MO-Q ). Некоторые более сложные ассоциации связаны с теоремой Малера и ссылкой в ​​ответе на этот MO-Q . Одним из аспектов даров Римана было его понимание того, как это связано с преобразованием Меллина.

(О предвзятости по поводу доступности см. Ханеман и Тверски.)