Каковы ограничения языка математики?
Мне сказали, что математика не может качественно выразить, что такое элементы множества, так что вы не можете сказать, например, что члены множества состоят из белых тигров. Таким образом, математика не может добавить качественных деталей к математической концепции или математическому примеру. Я хотел бы знать, каковы некоторые другие ограничения языка математики по сравнению с письменным или устным языком, таким как английский.
Ответы
Математический язык - это просто более строгий способ говорить о мире. В этом отношении нет ограничений, которые не были бы ограничением для любого языка.
То, что сегодня никто не знает, как математически выражать шутки, каламбуры и стихи, не означает, что их невозможно выразить математически. Было время, когда никто не умел, например, математически выразить вероятности, а теперь посмотрите ...
Тот факт, что нет стихов, написанных математическим языком, не означает, что этого нельзя было сделать. Скорее, это кажется прямым следствием того факта, что это специализированный язык, и поэтому большинство людей не понимают его достаточно хорошо.
Что касается шуток, то вот одна, написанная на языке формальной логики:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
Это на самом деле очень забавно, но это нужно понимать, и очень немногие люди это понимают.
Вопреки мнению некоторых комментаторов, между математикой и языком существует огромная разница, несмотря на то, что любое предложение, очевидно, можно перевести в математизированную «информацию».
Рассел, логические позитивисты и другие поставили перед собой цель избавить язык от его мрачных качеств, сведя и язык, и математику к логике. Хотя работа была достаточно плодотворной, сам проект был признан провальным, по крайней мере, как целостная система. Разрыв между ранним и поздним Витгенштейном предлагает драматическую инкапсуляцию этой «неудачи», учитывая обширную, сложную, живую и перформативную природу языка.
Во-первых, язык воплощен, эмпирически и преимущественно устен. Он начинается с вибраций в утробе матери и продолжается человеческой жизнью, физическими условиями и размножением. Мы можем преобразовывать слова в визуальные алфавиты, но это требует довольно неестественного и трудного процесса обучения. Вы не можете перевести эти визуальные знаки обратно на язык без доступа к произносимым словам. Помимо грубых пиктограмм, вы не можете перевести или восстановить «мертвый язык», такой как линейное письмо A, без некоторой связи, пусть косвенной, с живым «разговорным» языком.
Это предполагает, что язык имеет такую же ограниченную по времени необратимость, как и сама жизнь, тогда как математика «обратима» и, следовательно, лишена смысла, если «значение» имеет отношение, как говорит Луман, к отношениям актуального к возможному. Математика пытается избавиться от как можно большего количества эмпирического содержания, тогда как язык - это опыт и всегда предполагает, пусть и удаленно, воплощенного говорящего с определенной историей и окружающей средой.
Мы не можем изучать математику без языка, но мы легко изучаем язык без математики. Теоретически, конечно, некоторые могут возразить, что ИИ повлечет за собой математизацию уникальных навыков человеческого языка, которые передаются внутри и между мозгами. Но одна из лингвистических возможностей разумного мозга заключается в том, что он воспроизводит себя, в то время как очень сомнительно, что вычислительные машины могут воспроизводить себя вне среды воспроизводства людей.
Есть важное различие между чистой математикой и прикладной математикой.
Чистая математика занимается исключительно абстрактными истинами общей формы: «при определенных начальных формальных условиях или постулатах, каковы последствия?» Например, в аксиоматической системе эти формальные условия делятся на примитивы , отношения и аксиомы, которые определяют, как отношения применяются между примитивами. Но примитивы и отношения не имеют внутреннего значения.
Когда какое-то значение применяется к примитиву, упражнение превращается в прикладную математику. Данной чисто математической дисциплине можно приписать множество различных значений, каждое из которых ведет к разной области прикладной математики. Как однажды апокрифически заметил Дэвид Гильберт об аксиоматической геометрии, можно было бы прекрасно применить «точки», «линии» и «плоскости» к столам, стульям и пивным кружкам.
Таким образом, математические свойства элементов множества как примитивных заполнителей - это область чистой математики, а математические свойства клетки, полной белых тигров, - область прикладной математики.
Цвета и музыка - это основа математики. В теории множеств можно говорить о множествах с разными трансфинитными кардиналами для их количества цветов.
Логическая структура может быть представлена в виде диаграмм в целом и для конкретных понятий.
Тем не менее, я бы хеджировал свои ставки и просто сказал, что мы не знаем, можем ли мы соответствующим образом связать каждую релевантную концепцию с ее собственной математизацией. В случаях, когда успех не кажется ожидаемым, возможно, мы просто еще не поняли, так сказать, проблему со словом.