Карта пересечения, порождающая двойственность Пуанкаре
Позволять $M$ - гладко триангулированный компакт $d$-мерное многообразие. Рассмотрим подкомплекс$C_*^{\pitchfork T}(M)$гладких сингулярных цепочек, поперечных триангуляции. Конструкция индуктивной цепной гомотопии устанавливает, что они квазиизоморфны всем гладким и, следовательно, всем сингулярным цепям.
Определите карту пересечения $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ (последние являются симплициальными коцепями, возникающими в результате триангуляции), отправив $\sigma : \Delta^d \to M$ коцепи, значение которой на элементе an триангуляции, характеристическое отображение которой равно $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ - это счет нулевого многообразия, полученного при обратном преобразовании $\sigma$ а также $\iota$. Здесь либо$R$ является $\mathbb{Z}/2$ или же $M$должны быть ориентированы, и счет ведется с обычными знаками, и используется некоторая версия (например, эта ) трансверсальности для многообразий с углами.
Веселое упражнение: с соответствующими знаками, $I$карта цепных комплексов. (Подсказка: как и в доказательстве того, что степень, определяемая подсчетом прообразов, является гомотопически инвариантной, это опирается на классификацию одномерных многообразий.) Двойственность Пуанкаре подразумевает, что область определения и область значений$I$ квазиизоморфны.
Вопрос: почему $I$ квазиизоморфизм?
Я думаю, что могу доказать это, но только в настройке mod-two, используя основополагающую работу Тома по бордизму и элементарный подход Квиллена к кобордизму (только определения его «элементарной» статьи - не основные результаты, которые для меня вполне глубокий, несмотря на название статьи). Но должен быть более прямой аргумент, который также охватывает ориентированный случай, и кажется, что это должно быть где-то в литературе - может быть, с 1940-х годов?
(Мотивация: Грег Фридман, Анибал Медина и я имеем то, что мы считаем новым подходом к таким вопросам, как знают ли цепи и коцепи одно и то же о многообразии? Через потоки векторного поля, и хотели бы опираться на существующие знания о взаимодействии между пересечением и двойственностью.)
Ответы
В связанной и очень актуальной теме комментариев Майк Миллер указал мне на препринт Липянского. Я уверен, что есть аргументы, которые работают, например, то, что мы с Джошуа и Дмитрием обсуждаем в комментариях. Но прежде чем я забуду, я хотел бы указать на работу Липянского, особенно на Раздел 12, и отметить вопрос как ответ.