Когда карта создает структуру в конкретной категории?
Позволять $C$ конкретная категория, пусть $A$ быть набором, пусть $B$ быть объектом в $C$, и разреши $f$ быть функцией от $A$ к базовому набору $B$. Тогда всегда ли существует объект в$C$ чей базовый набор $A$ такой, что $f$ это морфизм в $C$? И если$f$ является биекцией, то всегда ли существует объект в $C$ чей базовый набор $A$ такой, что $f$ является изоморфизмом в $C$?
Я предполагаю, что ответ на эти вопросы отрицательный, но есть ли названия для конкретных категорий, для которых ответ на один или оба вопроса положительный? Что, если бы мы поменяли порядок$A$ а также $B$, так что набор, который превращается в объект, является содоменом функции, а не доменом?
Я спрашиваю, потому что создание структуры на множестве через карту - очень распространенная конструкция в математике, и мне интересно, имеет ли она теоретико-категориальное происхождение.
Ответы
Вы в основном спрашиваете о подъемных свойствах конкретизирующего функтора$U: C \rightarrow \underline{Set}$. Это должно дать вам представление о том, что искать, если вы хотите найти больше ссылок по этому поводу. Обратите внимание, что мы также можем изучать эти свойства, когда целевая категория функтора - это нечто иное, чем$\underline{Set}$.
Функторы, в которых мы можем поднять любой морфизм, очень редки. В самом деле, вы, как правило, не ожидаете, что забывчивые функторы конкретной категории будут обладать этим свойством просто потому, что идея конкретной категории заключается в том, что большинство функций в$\underline{Set}$ не являются морфизмами структур, чем составляют конкретную категорию.
Случай, когда мы можем только поднять биекцию (только изоморфизмы поднятия для общей целевой категории), хорошо известен и изучен, причем рассматриваемые функторы называются изофибрациями . Ваша интуиция о том, что таких случаев много, проистекает, среди прочего, из того факта, что забывчивый функтор из категории алгебр монады всегда является изослоением.
Нет. Просто рассмотрите категорию $1$ с одним объектом и одним морфизмом (тождеством) и сопоставить это с Set практически любым способом.