Когда конус $C(X)$ на локально компактном пространстве?
Есть несколько вопросов в этом форуме , касающегося особых случаев этого вопроса, например , этого для$X = \mathbb Z$и это для$X = \mathbb R$. У меня вопрос
Каковы необходимые и достаточные условия на $X$ обеспечивающие локальную компактность конуса $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
Ответ может зависеть от точного определения локальной компактности. Вот два варианта:
$X$ локально компактно, если каждое $x \in X$ имеет компактный микрорайон.
$X$ локально компактно, если каждое $x \in X$ имеет соседний базис, составляющий компакты.
Ясно, что 2. сильнее, чем 1. Если предполагается, что «компактный» включает в себя «Хаусдорфа», то 1 и 2 эквивалентны. То же верно и для Хаусдорфа.$X$ независимо от толкования слова «компактный».
Читателю предлагается использовать его любимую интерпретацию.
Очевидным достаточным условием является следующее:
Если $X$ компактно, то $C(X)$ компактно и, следовательно, локально компактно в смысле 1. Если $X$ компактно по Хаусдорфу, то $C(X)$ компактно по Хаусдорфу и, следовательно, локально компактно в смысле 2.
Точно так же очевидным необходимым условием является следующее:
Если $C(X)$ локально компактно, то $X$ локально компактно.
По факту, $X$ гомеоморфен основанию $X \times \{0\}$ из $C(X)$ который закрыт в $C(X)$, таким образом, локально компактный.
Если $X$ локально компактно, то, очевидно, открытое подпространство $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ локально компактно, где $*$ кончик $C(X)$, т.е. общий класс эквивалентности точек в $X \times \{1\}$.
Мне кажется, что некомпактный $X$не может иметь локально компактного конуса. Причина в том, что если$C(X)$ локально компактно, то $*$должен иметь компактный микрорайон. Я могу доказать частичный результат (см. Мой ответ на мой вопрос). Но меня интересует, есть ли более общая теорема.
Ответы
Вот частичный ответ.
Позволять $X$- нормальное (в том числе хаусдорфово) счетно паракомпактное пространство. Тогда следующие эквивалентны:
$X$ компактный.
$C(X)$ компактный.
$C(X)$ локально компактно.
Это относится ко всем паракомпактным хаусдорфовым пространствам. $X$, в частности, для всех метризуемых $X$.
Эквивалентность 1. и 2. очевидна, а 2. влечет 3. Осталось показать, что 3. влечет 1. Наша стратегия состоит в том, чтобы вложить $X$ как замкнутое подмножество компактной окрестности вершины $*$ из $C(X)$. Это будет сделано путем смещения базы$X \times \{0\}$ из $C(X)$ в направлении $*$.
Позволять $U$ быть открытым соседством $*$ в $C(X)$ с компактной застежкой $K \subset C(X)$. Если$p : X \times I \to C(X)$ обозначает фактор-карту, то $V = p^{-1}(U)$ это открытое соседство $X \times \{1\}$ в $X \times I$. Для каждого$x \in X$ позволять $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Ясно$0 \le f(x) < 1$ потому что $V$открыт. более того$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. Функция$f$ полунепрерывно сверху: Пусть $f(x) < r$. Выбирать$t$ такой, что $f(x) < t < r$. потом$\{x \} \times [t,1] \subset V$ и таким образом существует открытое соседство $W_x$ из $x$ в $X$ такой, что $W_x \times [t,1] \subset V$. потом$f(y) \le t < r$ для $y \in W_x$. поскольку$f(x) < 1$ для всех $x$ и постоянная функция $1$ полунепрерывно снизу, теорема, которая была доказана независимо Даукером (см. «О счетно паракомпактных пространствах». Canadian Journal of Mathematics 3 (1951): 219-224 / Теорема 4) и Катетовым (см. «О вещественнозначных функциях в топологических пространства. "Fund. Math. 38 (1951): 85-91 / теорема 2) утверждает, что существует непрерывная $h : X \to \mathbb R$ такой $f(x) < h(x) < 1$ для всех $x$. Определить$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Это вложение: на самом деле ограничение$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ это вложение и $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, является вложением. Более того,$H(X)$ закрыт в $C(X)$ и $\bar h(X) \subset V$, таким образом $H(X) \subset U \subset K$. Мы делаем вывод, что$H(X)$компактный. Следовательно$X$ компактный.
Обновить:
Приведенная выше теорема утверждает, что нормальное (включая хаусдорфово) счетно паракомпактное пространство $X$ некомпактный не может иметь локально компактного конуса.
В частном случае из а$\sigma$-компактный локально компактный Хаусдорф $X$ мы можем дать альтернативное доказательство, которое не использует приведенную выше «теорему о сэндвиче» для полунепрерывных сверху и снизу функций.
Так что давайте $C(X)$ быть локально компактным, $U$ быть открытым соседством $*$ в $C(X)$ с компактной застежкой $K \subset C(X)$ и $V = p^{-1}(U)$ что является открытым соседством $X \times \{1\}$ в $X \times I$.
У нас есть $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ с компактным $K_n \subset X$ такой, что $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Существует открытый$W_n \subset X$ и $t_n \in (0,1)$ такой, что $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog можно считать, что последовательность$(t_n)$не убывает. Обратите внимание, что$s_n = (1+t_n)/2$ содержится в $(t_n,1)$. Позволять$B_n = \operatorname{bd} K_n$ который компактный (но, возможно, пустой; в этом случае $K_n$Clopen). Наборы$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ компактны и содержат непересекающееся множество $B_n$ и $B_{n-1}$ (формально полагаем $K_0 = \emptyset$). Мы индуктивно строим непрерывные$f_n : C_n \to I$ следующим образом: Для $n=1$ позволять $f_1(x) = s_2$. Данный$f_1,\ldots, f_n$ такой, что $f_i(x) = s_i$ для $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ для $x \in B_i$ и $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ для всех $x \in C_i$ мы используем теорему Урысона, чтобы найти $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ такой, что $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ для $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ для $x \in B_{n+1}$ и $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ для всех $x \in C_{n+1}$. Сборник всех этих$f_n$, $n \in \mathbb N$, может быть вставлен в непрерывный $f : X \to I$ имея свойство, которое $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. Фактически, для$x \in C_n$ у нас есть $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ и поэтому $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. По конструкции$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ является замкнутым подмножеством $C(X)$ который гомеоморфен $X$ и, будучи замкнутым подмножеством $K$, компактный.