Когда можно использовать тождество Парсеваля-Планшереля для решения интеграла?

Question

Интеграл имеет вид $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Где преобразование Фурье$\sigma$ функция $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ и функция $\mu(x)$ дан кем-то $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

Преобразование Фурье $\mu(x)$ можно найти довольно легко $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

Вопрос в том:

Можно ли использовать тождество Парсеваля-Планшереля и записать указанный выше интеграл как $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?

Если это так, указанный выше интеграл становится $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

Что похоже на преобразование Фурье $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$функция. Как вычисляется это преобразование Фурье?

Answer 1

Напомним тождество, что преобразование Фурье $K(x)=\text{sech}(x)$ является $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

Используя это тождество, преобразование Фурье $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ можно легко вычислить

\ begin {уравнение} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {identify} \ end {уравнение}

Используя уравнение этого соотношения, данный интеграл легко интегрируется

\ begin {Equation} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {отдых} \ end {уравнение}

Проверка ответа численно. График: Константа a Постоянная графика c