Когомологии Бредона действия перестановки на $S^3$

Question

Я видел пару подобных вопросов, которые просили проверить вычисления когомологий Бредона здесь и здесь , поэтому я сам задам один такой вопрос.

Позволять $\mathbb{Z}/2$ действовать на $S^3\subset \mathbb{C}^2$ ограничением действия перестановки на $\mathbb{C}^2.$ Я хотел вычислить когомологии Бредона $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$

У меня есть разложение клеток на основе разложения сложных $1$-мерный диск в $3$ клетки: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Вот $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ и $D$ это интерьер $\mathbb{D}.$ Тогда у нас есть разложение $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ в ячейки, совместимые с $\mathbb{Z}/2$ действие.

Множество неподвижных точек действия - это круг, заданный формулой $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Поскольку орбитальная категория $\mathbb{Z}/2$ состоит из $*$ и $\mathbb{Z}/2$ существуют следующие эквивариантные цепочки: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {ячейки, соответствующие} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ раз D \\ \ hline \ end {array}

Кажется, что коцепи, оцененные в $\underline{\mathbb{Z}}$ находятся:

\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} Поскольку$(T\times T)^*=0$ в коцепях мы имеем $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Дифференциальный $d_1$ является изоморфизмом, поскольку $\partial(D\times *)=T\times *.$ Кажется, что $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$

Мне немного странно, что фактор - это гомологическая сфера. Конечно, группа$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ так как ориентация сохранена, но возможно я пропустил некоторые $2$-кручение в низшей степени?

Answer 1

Ваш окончательный ответ правильный, но используемая вами структура ячеек не является $G$-CW состав: $T\times T$ не может использоваться как ячейка таким образом.

Я бы подошел к этому так: действие $G = {\mathbb Z}/2$ на $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ можно записать как представление $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, где $G$ действует тривиально на $\mathbb{C}$ и отрицанием $\mathbb{C}^\sigma$. Сфера$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ также одноточечная компактификация $S^{1+2\lambda}$, где $\lambda$ обозначает реальную линию с $G$действуя путем отрицания. Это имеет$G$-CW состав с

1. один $G$-фиксированная 0-ячейка,
2. один $G$-фиксированная 1-клеточная,
3. один $G$-бесплатный 2-элементный, и
4. один $G$-бесплатный 3-х элементный,

так что скелеты $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, и $S^{1+2\lambda}$. Отсюда вы можете понять, что$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain комплекс $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$

Способ проверить правильность ответа - написать $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ а затем использовать известный расчет $RO(G)$-градуированные когомологии точки (первоначально из-за Стонга (неопубликовано), поскольку опубликовано в разных местах).