Количество квадратов между двумя натуральными числами

Question

Учитывая натуральные числа $m>n\in \mathbb{N}$ сколько квадратов между $m$ и $n$? т.е. сколько натуральных чисел$k\in \mathbb{N}$ удовлетворить это $n \leq k^2\leq m$?

Я думаю, что если бы мы знали самый большой квадрат $k^2=s\leq m$ и самый маленький квадрат $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, то количество квадратов, которые я ищу, будет $k-\tilde{k}+1$, но есть ли простой способ найти эти квадраты? Я был бы в порядке с границами, которые являются функциями размера$m-n$.

Answer 1

Количество квадратов между двумя натуральными числами $m$ и $n$ знак равно $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

Доказательство: Пусть$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ где $a$ наименьшее натуральное число, квадрат которого больше или равен $n$ и $a+s$ - наибольшее натуральное число, квадрат которого меньше или равен m.

Теперь, из простого наблюдения, $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ и $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ и количество квадратов между двумя натуральными числами равно $s+1$.