Компактно встроен в $L^p(0,1)$ но не является подпространством $C^0[0,1]$

Question

По теореме Реллиха-Кондрахова известно, что вложение $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ компактный.

С другой стороны, по неравенствам Соболева также имеем $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (на самом деле даже $C^{0,\frac{1}{2}}$ в этом одномерном случае, используя основную теорему исчисления и некоторые аргументы Коши-Шварца).

У меня вопрос, существует ли какое-то «промежуточное подпространство» в следующем смысле.

А именно, существует ли гильбертово пространство $H$ который компактно вложен в $L^p(0,1)$ для некоторых $p\geq 1$, и которое не является подпространством $C^0[0,1]$?

Answer 1

Да, такие гильбертовы пространства существуют, и они являются частным случаем дробных пространств Соболева . Для$\alpha\in(0,1/2)$ у нас есть $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ по определению, и можно показать, что ступенчатая функция, которая $1$ на $(1/2,1)$ и $0$ еще в $H^\alpha(0,1)$. Поскольку эта функция не является непрерывной,$H^\alpha(0,1)$ не встраивается в $C^0[0,1]$.

См. Также Доказательство того, что характеристическая функция ограниченного открытого множества$H^{\alpha}$ если только $\alpha < \frac{1}{2}$и в какой дробные пространства Соболева делает ступенчатую функцию принадлежат? (Норма Соболева-Слободецкого ступенчатой ​​функции) .

Также известно, что $H^\alpha(0,1)$ компактно встраивается в $L^2(0,1)$ для $\alpha\in (0,1/2)$. Это следует из теоремы 7.1 в этом PDF-документе .