Концептуальное объяснение знака перед некоторыми бинарными операциями
В нескольких ситуациях я видел, что при бинарной операции над оцениваемым модулем $m:A\otimes A\to A$, новая операция $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ определен так, что он удовлетворяет некоторым свойствам.
Один из примеров этого происходит в гомотопических G-алгебрах и пространствах модулей , где для бинарной операции$m\in\mathcal{O}(2)$ такой, что $m\circ m=0$ для какой-то операды $\mathcal{O}$, ассоциативный продукт определяется $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$, где скобки обозначают структуру алгебры скобок на $\mathcal{O}$. В этом случае объяснение, которое я смог сделать, состоит в том, что это необходимо для соотношения скобок (уравнение (2) в статье), чтобы подразумевать ассоциативность продукта.$xy$. В этом случае знак$(-1)^{|x|}$ работает и для этой цели.
Другой более прямой пример такой ситуации встречается в гомотопических формулах Картана и гауссмановской связности в циклических гомологиях , где задано$A_\infty$-алгебра с $m_i=0$ за $i>2$, можно получить dg-алгебру, снова определяя $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$. В данном случае это потому, что автор использует соглашение для$A_\infty$-алгебры, в уравнениях которых есть только знаки плюса, поэтому требуется дополнительный знак для создания отношения ассоциативности и правила Лейбница. Итак, причины очень похожи на предыдущий случай, хотя конструкция проще, потому что здесь нет фигурной алгебры.
И еще один дополнительный пример, на который у меня нет ссылок, относится к алгебрам Ли. При определении генератора операды градуированных алгебр Ли часто берется$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ вместо прямого определения $l$как скобка. Если я правильно помню, это было необходимо для получения тождества Якоби в чисто операционных терминах.
Похоже, что этот знак очень часто добавляют, чтобы сохранить некоторые отношения. Что я хотел бы знать, есть ли более концептуальное объяснение того, почему это происходит систематически. Может быть, это просто работает при написании уравнений, но я ищу более общую интуицию.
Моя мотивация - обобщить эту идею на карты более высокой степени сложности. Точнее, учитывая$A_\infty$-множение $m\in\mathcal{O}$ такой, что $m\circ m=0$, Я хочу определить $A_\infty$-структура $M$ на $\mathcal{O}$ что удовлетворяет условию знаков
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
(Существует также другое возможное соглашение, где $rs+t$ заменяется на $r+st$)
Это очень похоже на статью Гетцлера, в которой он определяет $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$, и это структурное отображение удовлетворяет соотношению $M\circ M=0$но со всеми плюсами. Поэтому мне нужно изменить эти карты некоторыми знаками аналогично ассоциативному случаю. Конечно, я могу попытаться сесть и написать уравнения, найти необходимые условия для знаков и, возможно, найти закономерность. Но если существует концептуальное объяснение ассоциативного случая и алгебр Ли, то, возможно, есть более простой способ узнать, какие знаки мне нужны.
Ответы
Я нахожу этот вопрос довольно интересным (в том смысле, что подобные вопросы, связанные со знаковыми факторами, появляющимися в различных алгебраических структурах без видимой причины, уже довольно давно обсуждались в моих исследованиях ...)
Хотя я не очень хорошо знаком с большинством ваших примеров, поскольку вы также упоминаете ассоциативные алгебры и алгебры Ли, я буду ссылаться на похожий «феномен» из градуированных алгебр: это связано с $\mathbb{Z}_2$-градуированное тензорное произведение двух ассоциативных супералгебр ($\mathbb{Z}_2$-градуированные алгебры) $A$ и $B$. Если$b$, $c$ являются однородными элементами $B$ и $A$соответственно, то так называемая супертензорная алгебра произведения или$\mathbb{Z}_2$-градуированная алгебра тензорного произведения супералгебр является супералгеброй$A\underline{\otimes} B$, умножение которого дается $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ с участием $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$. Здесь знаковый фактор отражает плетение моноидальной категории представлений групповой алгебры Хопфа$\mathbb{CZ}_2$: Напомним, что супералгебры можно также рассматривать как алгебры в сплетенной моноидальной категории. ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ (т.е. Категория $\mathbb{CZ}_{2}$-modules) и что указанное выше умножение абстрактно можно записать как: $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$Здесь плетение задается семейством естественных изоморфизмов$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ прямо написано: $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ где $V$, $W$ любые два $\mathbb{CZ}_2$модули.
Кроме того, это сплетение индуцировано нетривиальной квазитреугольной структурой групповой алгебры Хопфа$\mathbb{CZ}_{2}$, предоставленный $R$-матрица : \ begin {уравнение} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(1)} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(2)} = \ frac {1} {2} (1 \ otimes 1 + 1 \ otimes g + g \ otimes 1 - g \ otimes g) \ end {уравнение} через соотношение:$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$.
С другой точки зрения, упомянутое выше$R$-матрицу можно считать "порожденной" соответствующим бихарактером (или: коэффициентом коммутации)$\mathbb{Z}_2$группа.
Между$R$-матрицы, косы и бихарактеры (которые здесь фактически являются факторами коммутации) в плетеной, градуированной настройке для ассоциативной или плетеной Ли («цветные» - другое название) градуированных алгебр.
Все это можно обобщить на градуированные алгебры, градуировки и косы или $R$-матрицы или бихарактеры соответствующих групп для любой конечной абелевой группы. Также для$\mathbb{G}$-оценка, $\theta$-окрашенные супералгебры Ли, чтобы произвести более сложные бихарактеры $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ (который в приведенном выше примере $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ это точно знаковый фактор $\mathbb{Z}_2$ абелева группа).
В заключение: знаковые факторы здесь представляют собой «неявное» появление соответствующих групповых бихарактеров. И их также можно рассматривать как косы соответствующей категории представлений или как$R$-матрицы соответствующих четвертреугольных групповых алгебр Хопфа (финишной, абелевой, градуирующей группы).
Если вам интересны эти примеры и вы считаете их релевантными для вашего вопроса, вы также можете взглянуть на описание в этом ответе: https://mathoverflow.net/a/261466/85967 и моя связанная статья там.
Как прокомментировал Габриэль К. Драммонд-Ко, это связано с неявной приостановкой. Я сделаю это на примере Герстенхабера и Воронова, и остальные должны последовать тому же примеру. Обозначим$M_2(x,y)=x\cdot y$ продукт, который мы хотим определить на основе скобки $m\{x,y\}$. Если мы определим это как карту$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ (подвешивание как градуированные векторные пространства), тогда естественно использовать скобку $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$, но для этого нужно составлять суспензии и десуспензии. А именно,$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$. И это применяется$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ что делает знак $(-1)^{|x|}$появляются. Если мы используем$(s^{\otimes 2})^{-1}$ вместо этого мы получаем исходный знак $(-1)^{|x|+1}$.