Конечномерное подпространство, если нормированное векторное пространство замкнуто с использованием эквивалентности норм

Question

Я показал, что любые нормы в конечномерном реальном векторном пространстве эквивалентны, тогда возникает вопрос, почему это означает, что каждое конечномерное подпространство нормированного векторного пространства замкнуто. (Замкнутый в том смысле, что он топологически замкнут, его дополнение является открытым подмножеством.)

Я понимаю, что эквивалентные нормы порождают такое же понятие конвергенции, однако у меня очень мало идей о том, с чего начать. Я видел несколько сообщений, показывающих, что подпространство завершено, но я не думаю, что это соответствует духу этой проблемы.

Как мне продолжить? Спасибо заранее!

Answer 1

Я знаю, что если $X$ нормированное пространство над некоторым полем $\mathbb{F}$ и конечномерном с размерностью $n$, так что вы можете доказать $X$ изоморфен $\mathbb{F}^{n}$ с евклидовой нормой. $[1]$

Коллектор из приведенного выше результата состоит в том, что если $X$ - конечномерное векторное пространство с нормами $||\cdot||_{1}$ и $||\cdot||_{2}$. потом$||\cdot||_{1}$ и $||\cdot||_{2}$ эквивалентны.

Теперь, если вы можете доказать этот результат $[1]$ тогда у вас есть, что любое конечномерное подпространство линейного нормированного пространства замкнуто.