Константа разделения от разделения переменных в PDE

Aug 17 2020

Я прорабатываю учебник (четвертое издание Ричарда Хабермана) по уравнению теплопроводности как пример прикладных уравнений в частных производных. Я не знаком с концепцией константы разделения, и она постоянно появляется в выводах. Простите меня, я специализируюсь на неврологии, а не на математике.

Например, я нахожусь во второй главе, мы обсуждаем уравнение Лапласа для теплового потока на прямоугольной поверхности. Нам дано это уравнение$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$

где \ lambda - собственное значение или константа разделения этого градиента. Я понимаю собственное значение в контексте линейной алгебры (что я понимаю достаточно хорошо), и я готов признать, что функции являются бесконечно индексированными векторами, но я все еще не понимаю, как я могу просто вытащить эту константу разделения из воздуха. Какие условия необходимо выполнить, чтобы сделать это предположение?

Изменить: вот страница в моем тексте, с которой это взято, возможно, есть соответствующая информация, которую я не включаю.

Ответы

3 ArcticChar Aug 17 2020 at 11:48

Дело в том, что

$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$

не зависит от $y$, в то время как

$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$

не зависит от $x$. Итак, вы находитесь в ситуации, когда

$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$

Отсюда следует, что $f, g$обе постоянные функции. Например, выберите$y=0$, тогда $f(x) = g(0)$ для всех $x$. Так$f(x)$- постоянная функция. Аналогично для$g$.

Таким образом $f(x) = g(y) = \lambda$.