Корреляция как угол между векторами
Меня немного смущает геометрическая интерпретация корреляции как угла между двумя случайными величинами. Предположим$X$ и $Y$ две переменные со средним значением $0$ и пространство состояний $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$. потом$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ И соотношение $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ Я не понимаю, как это угол между двумя векторами, если я не определю два вектора $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ в этом случае я вижу, что $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ где $\theta$ угол между $x$ и $y$. Правильно ли это интерпретировать (как определение вектора значения каждого состояния, взвешенного квадратным корнем из связанной вероятности)?
Ответы
Это почти правильно. Чтобы дать такую геометрическую интерпретацию, нужно действовать точно так же, как вы, и определить две вещи:
- Как случайная величина интерпретируется как вектор?
- Как определяется скалярное произведение (или, что эквивалентно, длины и углы) между этими векторами?
Интерпретация 1. - это просто стандартная интерпретация функций как векторов. Т.е. случайные переменные отображают пространство состояний в$\mathbb{R}$следовательно, они являются векторами, как и любая другая действительная функция. В вашем случае пространство состояний конечно, следовательно, векторное пространство конечномерно. Вы можете идентифицировать это с$\mathbb{R}^3$именно так, как вы предложили, но вы не учитываете вероятности! Т.е. ваша случайная величина$X$ относится к вектору $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$
Вероятности входят только для 2: Обратите внимание, что математическое ожидание произведения случайных величин с нулевым средним $\mathbb{E}[XY]$ удовлетворяет всем условиям скалярного произведения, оно билинейно, симметрично (что довольно очевидно) и невырождено, поскольку $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ае
Итак, вы просто определяете $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ и готовы измерять углы!