Корреляция как угол между векторами

Aug 17 2020

Меня немного смущает геометрическая интерпретация корреляции как угла между двумя случайными величинами. Предположим$X$ и $Y$ две переменные со средним значением $0$ и пространство состояний $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$. потом$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ И соотношение $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ Я не понимаю, как это угол между двумя векторами, если я не определю два вектора $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ в этом случае я вижу, что $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ где $\theta$ угол между $x$ и $y$. Правильно ли это интерпретировать (как определение вектора значения каждого состояния, взвешенного квадратным корнем из связанной вероятности)?

Ответы

gg Aug 17 2020 at 17:31

Это почти правильно. Чтобы дать такую ​​геометрическую интерпретацию, нужно действовать точно так же, как вы, и определить две вещи:

  1. Как случайная величина интерпретируется как вектор?
  2. Как определяется скалярное произведение (или, что эквивалентно, длины и углы) между этими векторами?

Интерпретация 1. - это просто стандартная интерпретация функций как векторов. Т.е. случайные переменные отображают пространство состояний в$\mathbb{R}$следовательно, они являются векторами, как и любая другая действительная функция. В вашем случае пространство состояний конечно, следовательно, векторное пространство конечномерно. Вы можете идентифицировать это с$\mathbb{R}^3$именно так, как вы предложили, но вы не учитываете вероятности! Т.е. ваша случайная величина$X$ относится к вектору $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$

Вероятности входят только для 2: Обратите внимание, что математическое ожидание произведения случайных величин с нулевым средним $\mathbb{E}[XY]$ удовлетворяет всем условиям скалярного произведения, оно билинейно, симметрично (что довольно очевидно) и невырождено, поскольку $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ае

Итак, вы просто определяете $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ и готовы измерять углы!