Квантование потока в 3D компактной КЭД Полякова
В своей книге «Калибровочные поля и струны» Поляков представляет компактную КЭД на кубической решетке в трехмерном евклидовом пространстве как: $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
где $F$ чистый поток через плакет, который натянут на векторах решетки $\mathbf{\alpha}$ и $\beta$ в точке $\mathbf{r}$ и определяется: $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ Что интуитивно является завитком $A$вокруг плакетки. Калибровочное преобразование определяется как:$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$При котором действие инвариантно. Один очевидный результат состоит в том, что полный поток через любую замкнутую гауссову поверхность равен нулю. Это правда, потому что:$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$Поскольку каждое поле шкалы на каждой ссылке появляется дважды с разными знаками в приведенной выше сумме. Таким образом, невозможно иметь монополи в этой системе, за исключением монополей Дирака, которые могут быть построены, если предположить, что поток через 5 граней куба имеет один и тот же знак, в то время как одна грань имеет чистый поток с отрицательным знаком, так что общий поток остается равным нулю. .
Но затем он (Поляков) заявляет, что этот поток (который проходит только через одну из граней куба) квантуется. Я не знаю, как это доказать. Кажется, что необходимо сингулярное калибровочное преобразование (согласно статье 'т Хоофта), и нам нужно связать калибровочное поле с другим (возможно, материальным) полем, но я не могу найти способ реализовать это преобразование в решеточной модели и даже можно спросить, почему мы должны объединяться$A$к другой степени свободы. Этот момент также упоминается здесь:https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 снова без каких-либо доказательств.
В книге используется другое действие, которое, как утверждается, эквивалентно исходному действию, которое определяется следующим образом: $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ где $n$является целочисленным полем. Это действие в целом не эквивалентно исходному действию. потому что здесь мы допускаем отклонения от непериодичности$A$ внести свой вклад, и поэтому мы можем использовать его только в небольших $g$ предел.
Ответы
Что касается вопроса, то он должен вытекать из дискретной версии теоремы Стокса. Рассмотрим куб, в случае ненулевого потока, пронизывающего куб, нельзя глобально назначить калибровочный потенциал$A_\mu$, только локально, в определенном графике. Разобьем куб на две карты, перекрывающиеся хотя бы на экваторе.
Северное и южное полушарие. Согласно теореме Стокса поток через бледно-красную поверхность равен циркуляции$A_\mu$ вокруг экватора: $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ где $s$ - обозначает все поверхности на карте, и $l$ - отрезки на экваторе, и $S_i$ - площадь поверхности, $l_i$- длина отрезка. В интеграле по экватору в теореме Стокса можно выбрать интегрирование по$U_N$ и $U_S$, а результат с физической точки зрения не должен зависеть от выбора поверхности.
Электромагнитная часть действия точечной частицы: $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ Действие точечной частицы входит в интеграл по путям как $e^{i S}$ Поэтому для того, чтобы $e^{i S}$ Чтобы быть однозначными, потоки над северным и южным полушариями должны удовлетворять следующему условию: $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
Этой логике не хватает строгости, но она может дать некоторую интуицию. Еще один момент, который можно отметить, что монополи являются классическими решениями - минимумами функционала действия, и по действию можно увидеть, что:$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ Таким образом, сумма по всем граням будет квантована.
Действие, которое вы написали в конце поста, является злодейским или гауссовским приближением исходного действия, которое предполагает, что колебания калибровочного поля близки к минимумам.$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$, и получается разложением косинуса до второго порядка: $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$