линейный эндоморфизм между $V$ и двойной $V$

Question

Позволять $V$ - конечномерное векторное пространство над полем $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.

Доказать $\operatorname{End}(V)$ линейный изоморфный $\operatorname{End}(V^*)$.

Моя попытка: поскольку для конечного векторного пространства $\dim V^*=\dim V$

поэтому они линейно изоморфны $\psi:V\to V^*$.

Итак, данный элемент $T\in \operatorname{End}(V)$ мы можем найти $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ легко проверить, что это линейный эндоморфизм.

И карта включена, поскольку для любого $\hat{T}$ мы можем построить $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. Это инъективно, так как$\hat{T} = 0$ подразумевает $T = 0$ - нулевое отображение, поэтому оно имеет тривиальное ядро.

Наконец, нам нужно показать $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$также линейный. т.е.$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ по определению $\hat{T}$ он держит.

Правильно ли мое доказательство?

Answer 1

Ваше доказательство верное. Однако есть еще один изоморфизм векторного пространства между$\operatorname{End}(V)$ и $\operatorname{End}(V^*)$ это не требует изоморфизма $V \rightarrow V^*$. А именно карта$A \in \operatorname{End}(V)$ к $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ определяя $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Вот,$ x\in V$ и $\phi \in V^*$.

Answer 2

Вы хотите нанести на карту $T\colon V\to V$ к линейной карте $V^*\to V^*$ и есть очевидный способ сделать это, а именно отобразить $T$ перенести $T^*$. Однако это определяет антиизоморфизм , потому что$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Вы получаете изоморфизм, используя это, когда $\dim V=n$, ты получаешь $V\cong M_n(K)$ (кольцо $n\times n$матрицы) выбором базиса. Транзитивность изоморфизма заканчивается.