Лог-преобразование функции правдоподобия

Question

У меня есть функция правдоподобия $$ L(\theta;\mathbf x) = \frac{\prod x_i^{\nu-1} \exp\left( -\sum x_i/\theta \right) }{\theta^{\nu n} [\Gamma(\nu)] } \qquad x>0 $$

Он логарифмически преобразуется в следующую формулу $$ \ln L(\theta;\mathbf x) = \text{constant} - \frac{n\overline x} \theta - \nu\theta\ln\theta $$

Два вопроса:

1. Я получаю тот же результат, когда сам выполняю преобразование, за исключением того, что в дополнение к приведенному выше результату я получаю дополнительный член $n\bar{x}(\nu-1)$ - почему его там не должно быть?

1. Также я получаю ${}-\text{const}$ скорее, чем ${}+\text{const}$, но я полагаю, поскольку это произвольное постоянное значение, то либо $+$ или $-$ работает?

Answer 1

В этом контексте «постоянный» означает не зависящий от $\theta.$ Все термины, не зависящие от $\theta$постоянны. В частности, часто следующее, что делают после логарифмирования, - это дифференцирование по$\theta,$ а потом каждый срок вне зависимости от $\theta$ исчезает.