Логика точного определения пределов?
Я первокурсник колледжа, изучаю математический анализ у Томаса. Прямо сейчас я изучаю точное определение пределов с помощью дельта-метода эпсилон для использования в доказательствах и т. Д.
Я заметил, что при доказательстве предела функции сначала дается предел, а затем используется дельта-метод эпсилон. Но разве это не похоже на то, чтобы поставить телегу впереди лошади.
Например, скажем, мне нужно доказать предел 5x-3 при x-> 1. Казалось бы, предписанный порядок - это просто использовать правило замены для многочленов, получить 2 в качестве предела, а затем использовать дельта-метод эпсилон, чтобы показать, что предел действительно равен 2. Это меня смущает, потому что предел не должен быть «неизвестным». ', и для получения предела как 2 следует использовать доказательство. Как мне вообще узнать, что предел 2 следует использовать в качестве отправной точки? Логический порядок мне кажется обратным.
Ответы
Сначала вам нужен подходящий кандидат / обоснованное предположение о том, каким должен быть предел. Затем, только после этого, вы можете использовать точное определение, чтобы ДОКАЗАТЬ, что ваше первоначальное предположение действительно соответствует действительности. Кроме того, вы можете видеть, что это лучшее, что вы можете сделать, просто исходя из того, как дается определение пределов:
Определение.
Позволять $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ быть функцией, $a\in\Bbb{R}$. Мы говорим$f$ имеет конечный предел при $a$ если существует $l\in \Bbb{R}$ так что для каждого $\epsilon>0$, Существует $\delta>0$ такой, что для всех $x\in\Bbb{R}$, если $0<|x-a|<\delta$ тогда $|f(x)-l|< \epsilon$.
(В этом случае мы можем доказать, что $l$ уникален и обозначим его как $\lim_{x\to a}f(x)$)
Обратите внимание, как определение начинается с "существует $l\in \Bbb{R} \dots$"Судя по тому, как это сказано, прежде чем даже проверять $\epsilon,\delta$ критерию, вам необходимо иметь значение кандидата для лимита $l$. Нигде определение не говорит вам, что$l$ или как это угадать (такую «догадку» вы поймете по мере того, как узнаете больше).
Например, если у вас было две функции $f$ и $g$, с участием $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ и $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, то если все, что вы делаете, это пристально смотрите на определение пределов, вы не можете сказать, что $f+g$ также имеет предел, и этот предел равен $l_1+l_2$. Единственное естественное предположение: если$f+g$ есть предел, тогда лучше быть $l_1+l_2$.
Затем, когда у вас есть это предположение, вы продолжаете доказывать это, используя точные $\epsilon,\delta$ определение (где суть доказательства - неравенство треугольника).