Максимальное значение $4|\cos x|-3|\sin x|$ [дубликат]

Question

Как я найду максимум $4|\cos x|-3|\sin x|$

Абсолютное значение меня смущает, максимальное значение было бы 5, если бы его не было.

Answer 1

$a=|sin x|,b=|\cos x|$ где $a,b\in[0,1]$ мы должны максимизировать $$4a-3b=4a-3\sqrt{1-a^2}=f(a)$$ но $$f'(a)=4+\frac{3a}{\sqrt{1-a^2}}>0$$ следовательно $$f(a)\le f(1)=4$$

Answer 2

Максимум вашего выражения не может превышать $4$, которое получается при $4|\cos x|$ максимально и $3|\sin x|$ сворачивается самостоятельно.

В этом случае при $x=n\pi~(n\in\Bbb Z)$, и максимизация первого члена, и минимизация второго члена происходят одновременно. Таким образом, максимальное значение действительно$4$.

Answer 3

$|\cos (x)| = 1$(максимальное значение) для всех $x = n\pi, n\in \Bbb Z$
Так, $4|\cos (x)| = 4$ максимально возможное значение первого члена.

$3|\sin x| \ge 0$. Итак, нам нужен термин$3|\sin x|$чтобы получить минимально возможное значение, поскольку оно вычитается из первого члена, и это значение равно нулю. Это снова происходит в$x = n\pi, n\in \Bbb Z$.

Так, $4|\cos x| - 3|\sin x|$достигает макс. ценность$4-0 = 4$ в $x = n\pi, n\in \Bbb Z$.