$\mathbb N$ это поле
Находим биекцию $\phi$ между $\mathbb N$ и $\mathbb Q$. Следовательно, определяя сложение и умножение соответственно на$\mathbb N$ (такой, что $\phi$ становится гомоморфизмом) преобразует $\mathbb N$ в поле.
Есть ли ошибка в моих рассуждениях?
Ответы
Поле - это не просто набор , это набор вместе с некоторой дополнительной структурой (две полевые операции). Так что это не совсем правда, что$\mathbb{Q}$ это поле - скорее, $(\mathbb{Q};+,\times)$ это поле.
Биекции позволяют нам «транспортную структуру:» если $\oplus,\otimes$ бинарные операции на некотором множестве $A$ такой, что $(A;\oplus,\otimes)$ это поле и $f:A\rightarrow B$биекция, мы можем дать$B$структура поля естественным образом: рассмотрим операции$\hat{\oplus}$ и $\hat{\otimes}$ данный $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ за $x,y\in B$. Но набор $B$само по себе не поле; скорее, структура $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ это поле.
В частности, когда мы поднимаем обычные $+$ и $\times$ по твоей любимой биекции $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, мы получаем операции $\hat{+}$ и $\hat{\times}$ такой, что $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$- это поле, но эти операции будут выглядеть очень странно - в частности, они будут полностью отличаться от обычного сложения и умножения натуральных чисел, к которым мы привыкли. Так что нет никакого противоречия между этим результатом и тем фактом, что$(\mathbb{N};+,\times)$явно не поле.
Нет никакой ошибки. Фактически любое бесконечное множество можно превратить в поле. Обратите внимание, что операции, которые вы определяете на$\mathbb N$ этот способ обязательно будет отличаться от обычного сложения и умножения натуральных чисел (потому что при обычных операциях натуральные числа не являются полем).
Используя обычное диагональное отображение, но чередуя положительные и отрицательные значения и пропуская повторяющиеся представления «дробей не в низших членах», мы можем получить взаимно однозначное соответствие, первые несколько членов которого:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Сейчас это является полем. Аддитивная идентичность$1$ и $1 + k = k+1 = k$ для всех $k \in \mathbb N$.
Каждое значение, $k$ имеет аддитивную инверсию, $-k$ так что $k+(-k)= 1$. Например, аддитивная инверсия$4$ является $-4 =5$ и $4+5 = 1$. Точно так же$-11 = 10$ и $11 + 10 = 1$.
Мультипликативное тождество $2$ и $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ для всех $k \in \mathbb N$.
И для каждого значения $k$ Кроме $1$, будет иметь мультипликативный обратный $\frac 1k$ где $k\cdot \frac 1k = 2$. Например$\frac 14 = 6$ и $4\cdot 6 = 2$.
И так далее.
Все это имеет смысл, потому что все, что я сделал, это заменил «обычные» рациональные числа на то, что в них отображается. Если я сделаю записи$k \color{blue}{\mapsto m}$ чтобы представить, что я "на самом деле" имею в виду, и вырезать и вставить то, что я написал выше, это будет:
...........
Сейчас это является полем. Аддитивная идентичность$1\color{blue}{\mapsto 0}$ и $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ для всех $k \in \mathbb N$.
Каждое значение, $k$ имеет аддитивную инверсию, $-k$ так что $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Например, аддитивная инверсия$4\color{blue}{\mapsto 2}$ является $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ и $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Точно так же$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ и $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
Мультипликативное тождество $2\color{blue}{\mapsto 1}$ и $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ для всех $k \in \mathbb N$.
И для каждого значения $k$ Кроме $1\color{blue}{\mapsto 0}$, будет иметь мультипликативный обратный $\frac 1k$ где $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Например$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ и $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
И так далее.