$\mathbb R$ с топологией, порожденной $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ псевдокомпактный
Я пытаюсь решить следующий вопрос из набора задач по подготовке UChicago GRE :
Endow $\mathbb R$ с правильной топологией, порожденной $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ и назовите это пространство $X$. Что из следующего неверно?
(...)
(E) $X$ псевдокомпактен (каждая непрерывная функция $f: X \to \mathbb R$ ограничен)
По ключу ответа (E) не является ложным. Раньше я не слышал о термине «псевдокомпактность», но пытаюсь разобраться в этом, исходя из определения. Если я правильно понял, топология$\mathcal O_\tau$ генерируется базисом $\tau$ является $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. Основное свойство непрерывных функций состоит в том, что прообраз каждого открытого множества открыт. Используя только это, как показать, что$f: X \to \mathbb R$ ограничено?
Ответы
Подсказка :$X$обладает еще более сильным свойством: любая непрерывная вещественнозначная функция (фактически, каждая непрерывная функция со значениями в хаусдорфовом пространстве) постоянна. Это следует из того факта, что любые два непустых открытых подмножества$X$ пересекаются.
Предположим $f:X \to \Bbb R$ непрерывно, и предположим $f$не были постоянными. Это означает, что есть$x_1 \neq x_2 \in X$ с участием $f(x_1) \neq f(x_2)$. Предположим (WLOG), что$f(x_1) < f(x_2)$ тогда найди $c\in \Bbb R$ с участием $f(x_1) < c < f(x_2)$. затем$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ открыт и $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ тоже открыта (как по непрерывности $f$) а также $O_1$ а также $O_2$ поэтому непустые открытые и непересекающиеся в $X$. Однако этого никогда не происходит, поскольку такое происходит в$X$ по определению всегда имеют форму $(a, +\infty)$ и любые две из них пересекаются (любая точка, превышающая максимум их граничных точек, находится в пересечении).
Таким образом, любые непрерывные действительные значения $f$ на $X$ константа (поэтому заведомо ограничена), поэтому $X$ псевдокомпактный.