Может ли каждый моноид без обратимого сокращения быть вложенным в группу?

Question

Моноид необратим, если$xy=1$ подразумевает $x=y=1$ для всех $x,y$.

Вопрос: Может ли каждый моноид без обратимого сокращения быть вложенным в группу?

Я почти уверен, что это частное свободного произведения такого моноида на его зеркало (это моноид с теми же элементами и идентичностью, но с обратным умножением, т. Е. $x\cdot y=yx$) является «самой общей» группой, в которую он может быть вложен.

Это некоммутативный вариант построения целых чисел из натуральных чисел.

Появляется ли это где-нибудь в литературе как проблема / предложение / теорема?

Answer 1

Нет, это неверно даже для конечно порожденных моноидов. Возьмем любую полугруппу$S$которое является сокращающим и не вкладывается в группу (первые примеры построил Мальцев). Рассмотрим моноид$S^1$ который $S\sqcup\{1\}$ с участием $1$ a (новый, если $S$- моноид) нейтральный элемент. потом$S^1$является обратимо-свободным моноидом, не вкладываемым в группу. Это отменяющее, если и только если$S$ не имеет нейтрального элемента.