Можете ли вы сложить квадрат в одну пятую площади?
Я люблю оригами, и недавно это дало мне идею для очень сложной, но красивой головоломки. Мне действительно любопытно, сможет ли кто-нибудь здесь это решить.
Итак, вот загадка. Вам дается большой квадратный лист бумаги без каких-либо пометок. Из этого квадрата вы должны сделать квадрат ровно одной пятой площади исходного квадрата. Вам не дается никаких инструментов, таких как линейка или ножницы, и все, что вы можете сделать, это сложить бумагу. Как решить эту проблему?
Ответы
Способ сделать это:
- Сложите бумагу пополам по обеим осям. Вы отметили середину всех четырех сторон.
- Сложите по диагоналям хода коня, нарисованным здесь:
это создает красный квадрат. Все пять цветных областей имеют одинаковую площадь, поэтому красный квадрат равен 1/5 размера квадрата, с которого вы начали.
Сложите бумагу горизонтально ровно посередине; сложите каждый из двух$1\times\frac 1 2$прямоугольники по диагонали так, чтобы две диагонали были параллельны. Поверните бумагу на четверть оборота и сделайте то же самое. Четыре диагонали, которые вы только что создали, образуют квадрат площади.$\frac 1 5$.
Нам нужно показать, что расстояние между двумя параллельными диагоналями равно $\frac 1 {\sqrt 5}$. Это расстояние равно высоте по диагонали одного из больших треугольников, которые мы создали. Эти треугольники имеют площадь$\frac 1 4$ а длина основания, т.е. длина диагонали, равна $\frac {\sqrt 5} 2$. Утверждение следует сразу.
вот решение, я думаю, используя его аналогично, мы можем получить любую желаемую квадратную дробь.
(длинная серая линия - это первая серая линия, относительно более короткая - вторая серая линия.)
1. Сначала мы получаем синие линии, складывая пополам несколько раз, в этом случае мы получаем 1/8 деления.
2. Возьмите пять непрерывных таких делений с правого края.
3. Согните бумагу так, чтобы она совпала с правым верхним углом полного квадрата и точкой, которая является нижним концом 5-й синей линии (на изображении одна синяя линия перекрывает черную, которая является 4-й синей линией).
4. получим серую линию, соединив «конец 5-й синей линии» и «один угол». 5. нет, у нас есть один треугольник со сторонами x и (5/8) * x;
6. Проделайте аналогичную операцию для второй серой линии треугольника (со сторонами x и (3/8) * x), на этот раз используйте конечную точку 3-й синей линии.
7. Согните верхний край бумаги так, чтобы получилась зеленая линия длиной x / 8, которая пересекает первую серую линию и правый край бумаги. (Это можно сделать легко)
8. Область зеленой линии между двумя серыми линиями составляет длина х / 20. >! 9. загните правый край, чтобы получить красную линию, которая проходит от точки пересечения зеленой линии и 2-й серой линии.
10. Теперь у нас есть это измерение длины x / 20 на одной стороне, которое мы можем скопировать 4 раза, сложив бумагу, чтобы получить длину x / 5, а затем сделать квадрат.
Теперь, когда у нас есть длина x / 5, мы возьмем длину x / 5 на одном крае, скажем, правый край и длину 2x / 5 на верхнем крае (таким образом, эти 2 длины перпендикулярны друг другу)
этот x / sqrt (5) можно использовать для создания квадрата площадью 1/5 от большего;
imgur все еще медленный PS: я сделал большую ошибку раньше и получил 1/5 длины, теперь редактирование дает длину 1 / sqrt (5)
PS: Мы можем обобщить это, чтобы получить любую долю площади, если дробь может быть записана как сумма 2 sqaures, что означает здесь 5 = 2 2 + 1 1, также, если вы действительно очень трудолюбивы, вы можете получить любые желаемые дроби, но вы эти последние шаги придется проделывать несколько раз.
Не ответ. Вот только анимация, демонстрирующая хороший ответ Деусови . Я надеюсь, тебе это нравится.
Продолжая ответ Деусови, вы можете сложить квадрат до любого квадрата дроби дроби $n^2/(a^2+b^2)$, где $n <= a-b$.
Достигать $1/5$, выберите $n=1$, $a=2$, $b=1$.
Разделите края на $a$равные части. Затем складываем линии «ходы конем».$(a,b)$. Это сгенерирует$(a-b)^2$ площади размера $1/(a^2+b^2)$. Теперь собери$n^2$ из них для получения желаемой фракции.