Можно ли классифицировать незамкнутые подпространства гильбертова пространства?

Jan 15 2021

Позволять $H$ - пространство Гильберта.

Мотивированный моим предыдущим вопросом о сильно разрывных линейных функционалах , который можно интерпретировать как попытку классифицировать плотные гиперплоскости в$H$, позвольте мне перейти к делу:

Вопросы .

  1. Есть ли существенные различия между плотными гиперплоскостями в $H$?

  2. Если $L$ а также $M$ две плотные гиперплоскости в $H$, существует ли унитарное операторное отображение $L$ к $M$?

  3. Если предположить, что ответ на (2) отрицательный, сколько орбит существует для естественного действия унитарной группы $\mathscr U(H)$ на множестве плотных гиперплоскостей?


Говоря об общих (не обязательно замкнутых или плотных) подпространствах $H$, можно сказать несколько слов по этому поводу.

Например, не все такие пространства можно описать как диапазон ограниченного оператора, и, в частности, никакая плотная гиперплоскость не подходит. Это потому, что, если образ такого оператора имеет конечную ко-размерность, он должен быть замкнутым (это легко следует из теоремы о замкнутом графе).

Диапазон компактного оператора не содержит бесконечномерного замкнутого подпространства, так что это еще одно свойство, которое можно использовать для классификации подпространств.

Больше вопросов .

  1. Существует ли необходимое и достаточное условие, выраженное в топологических / аналитических терминах, характеризующее область значений ограниченного (соответственно компактного) оператора среди всех подпространств $H$?

  2. Сколько классов унитарной эквивалентности незамкнутых подпространств $H$здесь? Сколько из них можно описать в топологических / аналитических терминах?

Ответы

1 Black Jan 16 2021 at 21:26

Думаю, у меня есть простой ответ на вопрос 4 в компактном случае: бесконечномерное подпространство $E\subseteq H$ является образом компактного оператора тогда и только тогда, когда существует ортогональное (в отличие от ортонормированного) множество $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, так что $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ а также $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Это легко следует из спектральной теоремы для компактных операторов и того факта, что образ компактного оператора $T$ совпадает с диапазоном $|T|$.