Можно ли различить $\sin x$ относительно $\cos x$ из первых принципов?

Question

Сегодня я решал практическую задачу на вступительном экзамене в университет, где меня попросили выделить $\sin x$ относительно $\cos x$. В найденном мной решении использовалось цепное правило:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Однако чем больше я думал об этой проблеме, тем больше я чувствовал себя немного неудобно. Я действительно не понимаю, что значит различать функцию по отношению к другой функции, если это вообще возможно. Поэтому я попытался различить$\sin x$ относительно $\cos x$ из первых принципов, чтобы я знал, с чем работаю:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

Идея заключалась в том, чтобы лечить $\cos x$так же, как и любую другую переменную. Однако это дало мне неправильный ответ$(\cos \circ \cos)(x)$, и я не могу понять почему. Есть ли интуитивный способ мышления о том, что значит дифференцировать функцию по отношению к другой функции?

Answer 1

Вы хотите измерить изменение $\sin{x}$ в отношении изменения $\cos{x}$. Так ты хочешь$\sin{x}$ как функция $\cos{x}$, что не то же самое, что $\sin(\cos{x})$. В этом ваша основная проблема.

Что вы хотите: если $x \in [0, \pi]$, тогда $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, и другие \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} по желанию.

Упражнение: что происходит, когда $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Набор $y=\cos x$, то для $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Что касается лимита, вы должны написать $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$