Нахождение собственных значений матрицы 3x3 по определителю и следу

Question

Предположим, что $3×3$матрица A имеет только два различных собственных значения. Предположим, что$\operatorname{tr}(A)=−1$ и $\det(A)=45$. Найдите собственные значения$A$.

Я решил аналогичную проблему с матрицей 2x2, используя свойства trace и определителя (trace = a + d и det = ad-bc). Я попытался применить тот же подход для матрицы 3x3, но безуспешно, поскольку выражение характеристического полинома намного сложнее. Есть ли другой подход, который я мог бы использовать?

Answer 1

Предположим, ваши собственные значения $x$ и $y$. ваша матрица$A$ похожа на диагональную матрицу $B$на диагонали которого находятся собственные значения.
Теперь аналогичные матрицы имеют один и тот же определитель и один и тот же след, поэтому мы можем получить следующие уравнения:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$Первое - это сумма диагонали (мы знаем, что существует 2 уникальных собственных значения, поэтому одно из них будет отображаться 2 раза на диагонали).
Второй - произведение диагонали (определитель диагональной матрицы).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

если $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ и $2x+y=-1$. И это наш ответ :)

Answer 2

Для матрицы $A$ это $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Поскольку у вас есть одно собственное значение дважды (я предполагаю $\lambda_1$) это приводит к: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// Редактировать: исправленный результат: Вы можете решить эту проблему и получить:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$