Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки $(0, -2)$ к кривой $y=x^2$
Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки $(0, -2)$ к кривой $y=x^2$.
Это моя попытка:
пусть$P(\alpha, \beta)$ быть точкой на кривой. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Уравнение касательной в точке P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ должно удовлетворить это уравнение. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Теперь поместите эти значения, чтобы найти наклон$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Мы знаем это для $\theta$= угол между линиями и $m_1\quad\&\quad m_2$ быть наклоном линий: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$
Мой ответ не соответствует книге. Книга очень ценится, поэтому не может ошибаться. Я не могу найти ошибку в своем решении. В книге ответ сформулирован так:$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$
Изменить: в книге фактически указан ответ как$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Я был слепым, который не мог видеть 2 .
Ответы
Думаю, в вашей книге есть две ошибки.
Во-первых, $\theta$ должен быть острым углом, потому что мы говорим об угле между касательными и не говорим об отрезках касательных, а $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$
Также ваш ответ $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ правда и даже $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.
После исправления нам нужно доказать, что $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ что верно, потому что $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$
Как вы уже выяснили, $x$-значения двух точек на кривой равны $-\sqrt2$ и $\sqrt2$ (с соответствующим $y$-значение $2$).
Давайте посмотрим на "прямую касательную" $\big($в $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . Поскольку наклон касательной равен $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , угол между осью $ x $ и этой касательной равен $ \ arctan \ sqrt8 $ . Следовательно, угол между этой касательной и осью $ y $ равен $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Наконец, удвоение этого угла - это угол между двумя касательными, который на самом деле равен $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .