Найти максимум $x+y+z$ [закрыто]

Nov 28 2020

Если положительные числа $x, y$ и $z$ удовлетворить это $xyz=1$, каково минимальное значение для $x+y+z$?

От $xyz=1$, мы можем получить $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

Подставьте их в $x+y+z=1$ и я получил$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

Поскольку мы находим минимум для $x+y+z$, Я подумал об использовании формулы $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ из-за того, что у нас есть ценность $xy+yz+xz$.

Это все, что у меня есть. Как я могу продолжить?

Ответы

2 Jethalal Nov 28 2020 at 22:13

Используйте неравенство AM-GM,

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

Минимум $3$ и нет максимума.

1 YvesDaoust Nov 28 2020 at 22:05

По геометрии:

Поверхность уравнения $xyz=1$(не знаю его названия) - это кубика «гиперболической» формы, так как любое поперечное сечение плоскостью с одной постоянной координатой является гиперболой. Он имеет симметрию порядка$3$ вокруг оси $x=y=z$, и открыт к бесконечности.

Разрезы по плоскости $x+y+z=c$ замкнутые кривые, начиная с $c=3$ и увеличиваясь монотонно и безгранично.

Минимум $c=3$ и нет максимума.