Не понимаю, как работает этот совместный PDF

Aug 16 2020

Этот вопрос исходит от MIT 6.041 OCW.

Я не понимаю часть b этого вопроса, в частности, как $f_X(x)$ и $f_{Y|X}(y|0.5)$ рассчитаны.

Насколько я понимаю, вы получаете маржинальный PDF за счет интеграции совместного PDF, т.е. $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Это уже приводит к множеству недоразумений:

  1. Как видно на схеме, два $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$ и $3/2$. Итак, интегрируя эти два, мы получаем$\frac{1}{2}y$ и $\frac{3}{2}y$ соответственно - так какой из них должен быть $f_X(x)$? И является$f_X(x)$ с точки зрения $y$ даже законно?

  2. В решении говорится $f_X(x)$ с точки зрения $x$, но если интегрировать $f_{X,Y}(x,y)$ с точки зрения $y$, как мы могли получить $x$?

Решение для $f_{Y|X}(y|0.5)$еще более странно; не получает ли отдельная точка нулевой PDF, потому что точка не имеет площади? Итак, как можно говорить о$X=0.5$ во-первых, не говоря уже о том, чтобы знаменателем было событие с нулевой вероятностью?

Ответы

3 BrianTung Aug 19 2020 at 12:24

Рассматриваемые интегралы являются определенными интегралами, а не первообразными. Например,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

При условии

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

мы получаем, для $0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

и для $1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Для остальных у нас есть

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

и

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Обратите внимание, что для вычисления последнего требуется интегрирование кусочно-постоянной функции.