Непрерывная функция с верхней дини производной больше 0 означает, что функция возрастает.

Aug 17 2020

Позволять $f$ быть непрерывным на $[a,b]$ с участием $\bar D f \geq 0$ (верхняя производная Дини от $f$) на $(a,b)$. Покажи то$f$ увеличивается на $[a,b]$. Подсказка: покажите, что это верно для$g$ с участием $\bar D g \geq \epsilon > 0$ на $[a,b]$. Примените это к функции$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

Это вопрос 19 из главы 6.2 4-го издания анализа Ройдена-Фитцпатрика.

Мой подход следующий

  1. $g$ является непрерывным, поскольку представляет собой линейную комбинацию двух непрерывных функций.
  2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ что значит $g$ строго увеличивается $(a,b)$.
  3. $f = g - \epsilon x$ и $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ подразумевает $f$ увеличивается (не уменьшается) на $(a,b)$.

Имеет ли это смысл? Спасибо за любую помощь. Вопрос также связан с непрерывной функцией на$[a, b]$ с ограниченными верхней и нижней производными на $(a, b)$ это Липшиц.

Ответы

2 Matematleta Aug 17 2020 at 07:27

Откуда ты это знаешь $2$держит? Фактически, это суть доказательства, если я не неправильно понял ваш вопрос, вам нужно проделать небольшую работу. (Рисование картинки поможет!) Сначала предположим, что$\bar D f >0$ на $(a,b)$. Если есть$a<c<d<b$ такой, что $f(c)>f(d)$ тогда мы можем выбрать $f(c)>\mu>f(d)$. Позволять$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ и рассмотреть $\xi=\sup S.$ Обратите внимание, что $c<\xi<d$. Возьмите возрастающую последовательность$(t_n)\subseteq (c,d)$ такой, что $t_n\to \xi.$ Потом, $f(t_n)\to f(\xi)$. Если$f(\xi)\neq \mu$ тогда есть $\mu<\alpha<f(\xi)$. Непрерывность$f$ теперь означает, что существует интервал $I=(\xi,\xi+\delta)$ такой, что $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Но это противоречит определению$\xi.$ Таким образом, $f(\xi)= \mu.$

Мы показали, что для каждого $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, и заключаем, что $ D^+ f(\xi)\le 0$Противоречие. Таким образом, утверждение верно для строгого неравенства и$now$ мы определяем $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Это следует из того$\bar D g_{\epsilon} >0$ на $(a,b)$ так $g_{\epsilon}$ там не убывает, а при $\epsilon$ произвольно, $f$ также не убывает.