Непрерывность и слабая дифференцируемость с непрерывной слабой производной влечет сильную непрерывную дифференцируемость?

Aug 20 2020

Позволять $u: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Если$u$ сильно дифференцируема (т.е. дифференцируема в классическом смысле) с сильной производной $u'$, тогда $u$ также слабо дифференцируема, и каждая слабая производная равна $u'$ почти везде.

Теперь предположим $u$ непрерывна и имеет непрерывную слабую производную: можно ли заключить, что $u$ непрерывно дифференцируемо в сильном (т.е. обычном) смысле?

Ответы

1 Surb Aug 19 2020 at 23:07
  • Слабая производная уникальна, поэтому нет «нескольких производных» (обратите внимание, что мы работаем не с функциями , а с классом функций ).

  • На ваш второй вопрос ответ положительный. Это простое следствие основной теоремы исчисления . Более того, вместо того, чтобы говорить, что «существует непрерывная слабая производная» , мы скорее говорим, что «существует непрерывный представитель производной» .